329. Составьте уравнение окружности, если известны координаты её центра A и радиуса R: 1) A (3; 4), R = 4; 2) A (-2; 0), R = 1; 3) A (7; -6), R = √2; 4) A (0; 5), R = √7.

Краткий ответ

1. \((x-3)^2+(y-4)^2=16\)
2. \((x+2)^2+y^2=1\)
3. \((x-7)^2+(y+6)^2=2\)
4. \(x^2+(y-5)^2=7\)

Откуда берётся формула

Пусть \(M(x;y)\) — точка окружности с центром \(A(x_0;y_0)\) и радиусом \(R\). Тогда расстояние \(AM\) равно \(R\):

\[ \sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}=R \]

Возводим обе части в квадрат — получаем уравнение окружности:

\[ (x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2 \]

Два места, где чаще всего ошибаются:

• координаты центра подставляются с противоположным знаком: если \(x_0=-2\), в скобке будет \(x+2\);
• справа стоит \(R^2\), а не \(R\): при \(R=4\) это 16, при \(R=\sqrt{2}\) — 2.

По пунктам

1. \(x_0=3,\ y_0=4,\ R^2=16\): \[ (x-3)^2+(y-4)^2=16 \]

2. \(x_0=-2,\ y_0=0,\ R^2=1\), причём \(x-(-2)=x+2\), а \(y-0=y\): \[ (x+2)^2+y^2=1 \]

3. \(x_0=7,\ y_0=-6,\ R^2=2\), причём \(y-(-6)=y+6\): \[ (x-7)^2+(y+6)^2=2 \]

4. \(x_0=0,\ y_0=5,\ R^2=7\), причём \(x-0=x\): \[ x^2+(y-5)^2=7 \]

Проверка

Я проверил: беру точку на каждой окружности и подставляю в уравнение — должно получаться \(R^2\).

• \((7;4)\): \(4^2+0^2=16\) ✓
• \((-1;0)\): \(1^2+0^2=1\) ✓
• \((7+\sqrt{2};-6)\): \((\sqrt{2})^2+0^2=2\) ✓
• \((0;5+\sqrt{7})\): \(0^2+(\sqrt{7})^2=7\) ✓

Всё сходится. Полезно уметь и обратный переход: по виду \((x-a)^2+(y-b)^2=R^2\) центр — это \((a;b)\), а радиус — корень из правой части.