Боковая сторона AB трапеции ABCD образует с основанием угол 30°. Вычисли сторону AB, если высота BK равна 54 см.

Ответ: \(AB = 108\) см.

Как это получается

1. Высота \(BK\) опущена на основание \(AD\), поэтому треугольник \(ABK\) — прямоугольный: угол \(K = 90^\circ\).
2. В этом треугольнике угол при вершине \(A\) равен \(30^\circ\) (это и есть угол между боковой стороной \(AB\) и основанием \(AD\)).
3. Катет \(BK = 54\) см лежит против угла \(30^\circ\), а \(AB\) — гипотенуза. По определению синуса: \[ \sin 30^\circ = \frac{BK}{AB} \]
4. Отсюда \[ AB = \frac{BK}{\sin 30^\circ} = \frac{54}{0{,}5} = 108 \text{ см.} \]

Можно и короче, по свойству угла \(30^\circ\): катет против такого угла равен половине гипотенузы, значит гипотенуза вдвое больше катета: \[ AB = 2 \cdot BK = 2 \cdot 54 = 108 \text{ см.} \]

Проверка

\[ \frac{BK}{AB} = \frac{54}{108} = 0{,}5 = \sin 30^\circ \] — сходится.

Главное на будущее: высота трапеции образует прямоугольный треугольник с боковой стороной. Если известен катет, лежащий против угла \(30^\circ\) (или \(45^\circ\), \(60^\circ\)), то сторону ищут через синус: \(AB = \dfrac{BK}{\sin \alpha}\). Частая ошибка — умножать на синус вместо деления; проверка подстановкой сразу её ловит.