№1 Решить уравнения а) 6^(x+1) = 1/216 б) 4^x - 3·2^x - 40 = 0

Сначала ответы. В п. 1(г) я читаю запись как \(\left(\frac25\right)^{x+3}=2\frac12\); в 3(з) — как \(\log_2\frac{1}{\sqrt[3]{2}}\).

Краткие ответы

№1. Уравнения

а) \(x=-4\)
б) \(x=3\)
в) \(x=-2;\ 3\)
г) \(x=-4\)

№2. Неравенства

а) \([5;+\infty)\)
б) \((-\infty;3]\)
в) \((-\infty;-8)\)
г) \((-\infty;-2]\cup[2;+\infty)\)
д) \([4;+\infty)\)

№3. Логарифмы

а) \(2\)
б) \(-2\)
в) \(-2\)
г) \(1\)
д) \(-3\)
е) \(4\)
ж) \(\frac14\)
з) \(-\frac13\)

Ключевые шаги

1. Показательные уравнения

Основной приём: привести обе части к степени с одинаковым основанием. Если \(a>0,\ a\ne1\), то \[ a^u=a^v \iff u=v. \]

а) \(216=6^3\), поэтому \[ 6^{x+1}=\frac1{216}=6^{-3}. \] Значит, \(x+1=-3\), откуда \(x=-4\).

б) \(4^x=(2^x)^2\). Пусть \(t=2^x>0\): \[ t^2-3t-40=0. \] Корни: \(t=8\) и \(t=-5\). Отрицательный корень не подходит, так как \(2^x>0\). Значит, \[ 2^x=8=2^3,\qquad x=3. \]

в) \(32=2^5\), поэтому \[ x^2-x-1=5, \] \[ x^2-x-6=0, \] \[ (x-3)(x+2)=0. \] Отсюда \(x=3\) или \(x=-2\).

г) \(2\frac12=\frac52=\left(\frac25\right)^{-1}\). Тогда \[ \left(\frac25\right)^{x+3}=\left(\frac25\right)^{-1}, \] значит, \[ x+3=-1,\qquad x=-4. \]

Если в тетради в 1(г) стоит именно \(\left(\frac85\right)^{x+3}=20\frac12\), то решение будет через логарифм: \[ x=\log_{\frac85}\frac{41}{2}-3. \]

2. Показательные неравенства

Правило: если основание \(a>1\), знак неравенства сохраняется; если \(0<a<1\), знак меняется на противоположный.

а) \(125=5^3\): \[ 5^{x-2}\ge 5^3 \Rightarrow x-2\ge3 \Rightarrow x\ge5. \]

б) \(\frac1{49}=\left(\frac17\right)^2\). Основание \(\frac17<1\), поэтому знак меняется: \[ x-1\le2 \Rightarrow x\le3. \]

в) \(1=\left(\frac13\right)^0\), основание меньше \(1\): \[ x+8<0 \Rightarrow x<-8. \]

г) \(27=3^3\): \[ x^2-1\ge3 \Rightarrow x^2\ge4. \] Отсюда \[ x\le-2 \quad\text{или}\quad x\ge2. \]

д) \(2^{x+3}=8\cdot2^x\), поэтому \[ 8\cdot2^x-2^x\ge112, \] \[ 7\cdot2^x\ge112, \] \[ 2^x\ge16=2^4, \] \[ x\ge4. \]

3. Логарифмы

По определению \(\log_a b\) — это степень, в которую надо возвести \(a\), чтобы получить \(b\).

\[ \log_3 9=2,\quad \log_{\frac15}25=-2,\quad \log_{10}\frac1{100}=-2. \]

\[ \log_8 8=1,\quad \log_7\frac1{343}=-3,\quad \log_{\frac13}\frac1{81}=4. \]

Для корней: \[ \sqrt[4]{7}=7^{1/4}, \] поэтому \[ \log_7\sqrt[4]{7}=\frac14. \]

И \[ \frac1{\sqrt[3]{2}}=2^{-1/3}, \] значит, \[ \log_2\frac1{\sqrt[3]{2}}=-\frac13. \]

Проверка идёт обратным действием: например, \(6^{-3}=\frac1{216}\), а \(\left(\frac13\right)^4=\frac1{81}\).