Реши задание на изображении
Краткий ответ. На снимке видны два выражения с квадратными корнями, но правая часть и строка после знака равенства обрезаны. Что можно разобрать:
\[ \frac{(\sqrt{x}+\sqrt{y})(\sqrt{x}-\sqrt{y})}{x-y}=1 \quad (x\ne y), \]
\[ \frac{1}{(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2}=\frac{a+b+2\sqrt{ab}}{(a-b)^2} \quad (a\ne b). \]
Как это получается.
Верхняя дробь. Используем формулу разности квадратов: \[ (u-v)(u+v)=u^2-v^2. \] При \(u=\sqrt{x}\), \(v=\sqrt{y}\): \[ (\sqrt{x}+\sqrt{y})(\sqrt{x}-\sqrt{y}) =(\sqrt{x})^2-(\sqrt{y})^2=x-y. \] Поэтому \[ \frac{(\sqrt{x}+\sqrt{y})(\sqrt{x}-\sqrt{y})}{x-y} =\frac{x-y}{x-y}=1. \] Если в задании нужно было доказать другое тождество, например \[ \sqrt{x}+\sqrt{y}=\frac{x-y}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}, \] то оно получается умножением числителя и знаменателя на \(\sqrt{x}+\sqrt{y}\).
Нижнее выражение. Сначала раскрываем квадрат разности: \[ (\sqrt{a}-\sqrt{b})^2=a-2\sqrt{ab}+b. \] Чтобы убрать корень из знаменателя, умножаем числитель и знаменатель на сопряжённое выражение \(a+b+2\sqrt{ab}\): \[ \frac{1}{a+b-2\sqrt{ab}} =\frac{a+b+2\sqrt{ab}}{(a+b)^2-(2\sqrt{ab})^2}. \] В знаменателе: \[ (a+b)^2-4ab=a^2+2ab+b^2-4ab=(a-b)^2. \] Значит, \[ \frac{1}{(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2} =\frac{a+b+2\sqrt{ab}}{(a-b)^2}. \]
Проверка. Возьмём \(a=9\), \(b=4\). Тогда \(\sqrt{a}-\sqrt{b}=3-2=1\), обратное равно \(1\). По формуле: \(a+b+2\sqrt{ab}=9+4+12=25\), \((a-b)^2=25\), то есть \(25/25=1\). Совпадает.
Уточнение. Пришлите, пожалуйста, полное фото задания: справа и после знака равенства всё обрезано, поэтому не видно, что именно требуется — сократить дробь, упростить выражение или освободиться от иррациональности.
