188 Из прямоугольника случайным образом выбирается точка. Найдите вероятность события:

Кратко:
а) \(P=\frac12\);
б) \(P=\frac14\).

Как понять решение

Случайную точку выбирают равномерно внутри прямоугольника, поэтому вероятность попадания в фигуру равна отношению её площади к площади всего прямоугольника.

Пусть стороны прямоугольника равны \(a\) и \(b\), тогда его площадь

\[ S_{\text{прям}}=\,ab. \]

а) Ромб из середин сторон

Его диагонали равны сторонам прямоугольника: \(a\) и \(b\), причём они перпендикулярны. Площадь такого ромба:

\[ S_{\text{ромба}}=\frac{ab}{2}. \]

Значит,

\[ P=\frac{S_{\text{ромба}}}{S_{\text{прям}}} =\frac{\frac{ab}{2}}{ab} =\frac12. \]

б) Треугольник из двух соседних вершин и центра

Пусть основание треугольника — сторона прямоугольника \(a\). Точка пересечения диагоналей находится на расстоянии \(\frac b2\) от этой стороны, поэтому высота треугольника равна \(\frac b2\). Тогда

\[ S_{\triangle} =\frac12\cdot a\cdot \frac b2 =\frac{ab}{4}. \]

Следовательно,

\[ P=\frac{\frac{ab}{4}}{ab} =\frac14. \]

Проверка: для квадрата со стороной \(a\) ромб из середин сторон действительно занимает половину площади, а треугольник с основанием-стороной и центром — четверть.