2) ∛x + ∛(x²) = 4
Реши задание на изображении
Сверь числа и знаки с фото.
- \(\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{x^2}=4\)
По фото читаю уравнение: \[ 2)\quad \sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{x^2}=4. \]
Краткий ответ: \[ x_1=\frac{5\sqrt{17}-13}{2},\qquad x_2=-\frac{5\sqrt{17}+13}{2}. \]
Как решать
Сделаем замену: \[ t=\sqrt[3]{x}. \] Тогда \[ x=t^3,\qquad \sqrt[3]{x^2}=\left(\sqrt[3]{x}\right)^2=t^2. \]
Уравнение превращается в квадратное: \[ t^2+t=4, \] \[ t^2+t-4=0. \]
Находим корни: \[ D=1+16=17, \] \[ t_{1,2}=\frac{-1\pm\sqrt{17}}{2}. \]
Возвращаемся к \(x=t^3\): \[ x_1=\left(\frac{-1+\sqrt{17}}{2}\right)^3 =\frac{5\sqrt{17}-13}{2}, \] \[ x_2=\left(\frac{-1-\sqrt{17}}{2}\right)^3 =-\frac{5\sqrt{17}+13}{2}. \]
Оба корня подходят: кубический корень определён при любом действительном \(x\), а замена \(t=\sqrt[3]{x}\) обратима, поэтому посторонних корней нет.
Обсуждение
2 сообщенияРешить уравнение:3корень из х +3 корень шестой степени из х =4
Я прочитал первую тройку как показатель корня: \[ \sqrt[3]{x}+3\sqrt[6]{x}=4. \]
Краткий ответ: \[ x=1. \]
Решение
ОДЗ: \(x\ge 0\), так как есть корень шестой степени.
Замена: \[ t=\sqrt[6]{x},\qquad t\ge 0. \] Тогда \[ \sqrt[3]{x}=t^2,\qquad \sqrt[6]{x}=t. \]
Подставляем в уравнение: \[ t^2+3t=4, \] \[ t^2+3t-4=0. \]
Решаем квадратное уравнение: \[ (t-1)(t+4)=0, \] \[ t=1 \quad \text{или} \quad t=-4. \] Корень \(t=-4\) не подходит, потому что \(t\ge 0\).
Возвращаемся к \(x\): \[ \sqrt[6]{x}=1, \] \[ x=1^6=1. \]
Проверка: \[ \sqrt[3]{1}+3\sqrt[6]{1}=1+3=4. \] Всё сходится.
Ответ: \(x=1\).
Если в записи первая тройка — это множитель, а не показатель корня, то уравнение будет другим: \(3\sqrt{x}+3\sqrt[6]{x}=4\). Тогда ответ получится иррациональным. Скажи, если нужно решить именно такой вариант.
