сделай 223, 224

Question

сделай 223, 224

Расшифровка фото нейросетью:
223. Решите биквадратное уравнение:
а) $x^4 - 5x^2 - 36 = 0$;
б) $y^4 - 6y^2 + 8 = 0$;
в) $t^4 + 10t^2 + 25 = 0$;
г) $4x^4 - 5x^2 + 1 = 0$;
д) $9x^4 - 9x^2 + 2 = 0$;
е) $16y^4 - 8y^2 + 1 = 0$.

224. Найдите корни биквадратного уравнения:
а) $x^4 - 25x^2 + 144 = 0$;
б) $y^4 + 14y^2 + 48 = 0$;
в) $x^4 - 4x^2 + 4 = 0$;
г) $t^4 - 2t^2 - 3 = 0$;
д) $2x^4 - 9x^2 + 4 = 0$;
е) $5y^4 - 5y^2 + 2 = 0$.

Answer

223.
а) $x=\pm3$; б) $y=\pm2,\ \pm\sqrt2$; в) действительных корней нет; г) $x=\pm1,\ \pm\frac12$; д) $x=\pm\frac{\sqrt6}{3},\ \pm\frac{\sqrt3}{3}$; е) $y=\pm\frac12$.

224.
а) $x=\pm3,\ \pm4$; б) действительных корней нет; в) $x=\pm\sqrt2$; г) $t=\pm\sqrt3$; д) $x=\pm2,\ \pm\frac{\sqrt2}{2}$; е) действительных корней нет.

Как решать биквадратное уравнение

Биквадратное уравнение содержит только $x^4$, $x^2$ и число. Обозначаем квадрат переменной через $z$, например $z=x^2$. Тогда $x^4=z^2$, и получается квадратное уравнение.

После нахождения $z$:

оставляем только $z\ge0$, потому что $x^2$ не может быть отрицательным;

из $z=x^2$ получаем $x=\pm\sqrt z$.

Например, в 223а:
$$
x^4-5x^2-36=0,\qquad z=x^2.
$$
Тогда
$$
z^2-5z-36=0.
$$
Корни: $z=9$ и $z=-4$. Корень $-4$ не подходит. Из $x^2=9$ получаем $x=\pm3$.

№ |
уравнение для $z$ |
подходящие $z$ |
корни |

223а |
$z^2-5z-36=0$ |
$9$ |
$x=\pm3$ |

223б |
$z^2-6z+8=0$ |
$2;\ 4$ |
$y=\pm\sqrt2;\ \pm2$ |

223в |
$z^2+10z+25=0$ |
$z=-5$ не подходит |
нет |

223г |
$4z^2-5z+1=0$ |
$1;\ \frac14$ |
$x=\pm1;\ \pm\frac12$ |

223д |
$9z^2-9z+2=0$ |
$\frac23;\ \frac13$ |
$x=\pm\frac{\sqrt6}{3};\ \pm\frac{\sqrt3}{3}$ |

223е |
$16z^2-8z+1=0$ |
$\frac14$ |
$y=\pm\frac12$ |

224а |
$z^2-25z+144=0$ |
$9;\ 16$ |
$x=\pm3;\ \pm4$ |

224б |
$z^2+14z+48=0$ |
$-6;\ -8$ не подходят |
нет |

224в |
$z^2-4z+4=0$ |
$2$ |
$x=\pm\sqrt2$ |

224г |
$z^2-2z-3=0$ |
$3$ |
$t=\pm\sqrt3$ |

224д |
$2z^2-9z+4=0$ |
$4;\ \frac12$ |
$x=\pm2;\ \pm\frac{\sqrt2}{2}$ |

224е |
$5z^2-5z+2=0$ |
$D<0$, корней нет |
нет |

Проверка: $3^4-5\cdot3^2-36=0$, а также $2\cdot2^4-9\cdot2^2+4=0$. Значит, найденные корни подходят.

№	уравнение для \(z\)	подходящие \(z\)	корни
223а	\(z^2-5z-36=0\)	\(9\)	\(x=\pm3\)
223б	\(z^2-6z+8=0\)	\(2;\ 4\)	\(y=\pm\sqrt2;\ \pm2\)
223в	\(z^2+10z+25=0\)	\(z=-5\) не подходит	нет
223г	\(4z^2-5z+1=0\)	\(1;\ \frac14\)	\(x=\pm1;\ \pm\frac12\)
223д	\(9z^2-9z+2=0\)	\(\frac23;\ \frac13\)	\(x=\pm\frac{\sqrt6}{3};\ \pm\frac{\sqrt3}{3}\)
223е	\(16z^2-8z+1=0\)	\(\frac14\)	\(y=\pm\frac12\)
224а	\(z^2-25z+144=0\)	\(9;\ 16\)	\(x=\pm3;\ \pm4\)
224б	\(z^2+14z+48=0\)	\(-6;\ -8\) не подходят	нет
224в	\(z^2-4z+4=0\)	\(2\)	\(x=\pm\sqrt2\)
224г	\(z^2-2z-3=0\)	\(3\)	\(t=\pm\sqrt3\)
224д	\(2z^2-9z+4=0\)	\(4;\ \frac12\)	\(x=\pm2;\ \pm\frac{\sqrt2}{2}\)
224е	\(5z^2-5z+2=0\)	\(D<0\), корней нет	нет