номер 9.4
Сверь числа и знаки с фото.
9.4. На рисунке 9.5 \(BC = CD\), угол \(B\) равен углу \(D\). Докажите, что \(AC = CE\). [Рисунок: точки \(A\) (вверху справа), \(B\) (внизу справа), \(C\) (между \(B\) и \(D\)), \(D\) (слева), \(E\) (внизу слева); проведены отрезки \(AB\), \(BC\), \(CD\), \(DE\), \(EA\); точки \(A,C,E\) лежат на одной прямой, \(D,C,B\) — на одной прямой; при вершине \(B\) отмечен прямой угол между \(AB\) и \(BC\); на отрезках \(BC\) и \(CD\) нанесены одинаковые штрихи.] Рис. 9.5
Краткий ответ: \(AC=CE\), потому что треугольники \(ABC\) и \(EDC\) равны по стороне и двум прилежащим углам.
Доказательство
Рассмотрим треугольники \(ABC\) и \(EDC\).
По условию
\[ BC=CD. \]По условию
\[ \angle ABC=\angle EDC. \] Это углы \(B\) и \(D\).По рисунку \(A,C,E\) лежат на одной прямой, а \(B,C,D\) — на другой. Поэтому углы при вершине \(C\) вертикальные: \[ \angle ACB=\angle ECD. \]
В треугольнике \(ABC\) сторона \(BC\) прилежит к углам \(B\) и \(C\).
В треугольнике \(EDC\) сторона \(CD\) прилежит к равным им углам \(D\) и \(C\).
Значит, треугольники равны по второму признаку: \[ \triangle ABC\cong\triangle EDC. \]
При таком соответствии вершин: \[ A\leftrightarrow E,\qquad B\leftrightarrow D,\qquad C\leftrightarrow C. \] Поэтому стороне \(AC\) соответствует сторона \(CE\). В равных треугольниках соответствующие стороны равны, следовательно: \[ AC=CE. \]
Проверка: \(AC\) лежит против \(\angle B\), а \(CE\) — против равного ему \(\angle D\), значит, они действительно должны быть равны.
