Решить уравнение: три умножить на корень из икс +3 корень шестой степени из икс равно четырём

В записи «+3 корень…» важно, стоит ли коэффициент \(3\) и перед шестым корнем. Поэтому:

• если уравнение имеет вид \(\;3\sqrt{x}+\sqrt[6]{x}=4\), то \(\boxed{x=1}\);
• если действительно \(\;3\sqrt{x}+3\sqrt[6]{x}=4\), то \(\boxed{x\approx0{,}27675}\).

Основной школьный вариант

Рассмотрим \[ 3\sqrt{x}+\sqrt[6]{x}=4,\qquad x\ge0. \] Обозначим \[ t=\sqrt[6]{x}\ge0. \] Тогда \[ \sqrt{x}=t^3. \] Получаем уравнение относительно \(t\): \[ 3t^3+t=4, \] то есть \[ 3t^3+t-4=0. \] Один корень виден: \(t=1\). Разложим: \[ 3t^3+t-4=(t-1)(3t^2+3t+4). \] У квадратного множителя дискриминант \[ D=3^2-4\cdot3\cdot4=9-48<0, \] значит других действительных корней нет. Поэтому \[ t=1,\qquad x=t^6=1. \] Проверка: \[ 3\sqrt1+\sqrt[6]1=3+1=4. \]

Если тройка стоит у обоих корней

Тогда \[ 3\sqrt{x}+3\sqrt[6]{x}=4. \] С той же заменой \(t=\sqrt[6]{x}\): \[ 3t^3+3t=4 \] или \[ t^3+t=\frac43. \] Функция \(t^3+t\) при \(t\ge0\) строго возрастает, поэтому корень единственный. По формуле Кардано \[ t=\sqrt[3]{\frac23+\sqrt{\frac{13}{27}}} +\sqrt[3]{\frac23-\sqrt{\frac{13}{27}}}, \] а \[ x=t^6\approx0{,}27675. \] В этом чтении \(x=1\) не подходит: получилось бы \(6\), а не \(4\).