7 класс геометрия как сделать?

Ниже — ответы на вопросы 1, 2, 3, 4, 14, 15. В номерах 4, 14, 15 в тетради нужен чертёж и запись «Дано — Доказать — Доказательство».

1. Что такое треугольник

Треугольник — это фигура, состоящая из трёх точек, не лежащих на одной прямой, и трёх отрезков, попарно соединяющих эти точки.

Начерти \(\triangle ABC\):

• вершины — \(A, B, C\);
• стороны — \(AB, BC, CA\);
• углы — \(\angle A, \angle B, \angle C\).

Периметр треугольника — сумма длин всех его сторон:

\[ P=AB+BC+CA. \]

2. Равные треугольники

Два треугольника называются равными, если их можно совместить наложением.
У равных треугольников соответствующие стороны и соответствующие углы равны.

3. Теорема и доказательство

Теорема — это утверждение, истинность которого устанавливается с помощью доказательства. В теореме обычно есть условие и заключение.

Доказательство теоремы — это логические рассуждения, которые показывают, что из условия теоремы следует её заключение, опираясь на определения, аксиомы и ранее доказанные теоремы.

4. Первый признак равенства треугольников

Теорема. Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство.
Пусть у треугольников \(ABC\) и \(A_1B_1C_1\):

\[ AB=A_1B_1,\qquad AC=A_1C_1,\qquad \angle A=\angle A_1. \]

Наложим \(\triangle ABC\) на \(\triangle A_1B_1C_1\) так, чтобы вершина \(A\) совпала с \(A_1\), а сторона \(AB\) пошла по стороне \(A_1B_1\). Тогда точка \(B\) совпадёт с \(B_1\), потому что \(AB=A_1B_1\).

Так как \(\angle A=\angle A_1\), луч \(AC\) пойдёт по лучу \(A_1C_1\). А поскольку \(AC=A_1C_1\), точка \(C\) совпадёт с \(C_1\).

Значит, все вершины и стороны треугольников совпали, поэтому треугольники равны.

14. Второй признак равенства треугольников

Теорема. Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство.
Пусть у треугольников \(ABC\) и \(A_1B_1C_1\):

\[ AB=A_1B_1,\qquad \angle A=\angle A_1,\qquad \angle B=\angle B_1. \]

Наложим \(\triangle ABC\) на \(\triangle A_1B_1C_1\) так, чтобы сторона \(AB\) совпала с \(A_1B_1\). Тогда вершина \(A\) совпадёт с \(A_1\), а вершина \(B\) — с \(B_1\).

Так как \(\angle A=\angle A_1\), луч \(AC\) пойдёт по лучу \(A_1C_1\).
Так как \(\angle B=\angle B_1\), луч \(BC\) пойдёт по лучу \(B_1C_1\).

Точка \(C\) — пересечение лучей \(AC\) и \(BC\), а \(C_1\) — пересечение соответствующих лучей \(A_1C_1\) и \(B_1C_1\). Значит, \(C\) совпадёт с \(C_1\). Треугольники полностью совместились, поэтому они равны.

15. Третий признак равенства треугольников

Теорема. Если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство.
Пусть у треугольников \(ABC\) и \(A_1B_1C_1\):

\[ AB=A_1B_1,\qquad BC=B_1C_1,\qquad CA=C_1A_1. \]

Наложим \(\triangle ABC\) на \(\triangle A_1B_1C_1\) так, чтобы \(A\) совпала с \(A_1\), \(B\) — с \(B_1\), а точка \(C\) перешла в точку \(C'\), лежащую по другую сторону от прямой \(A_1B_1\), чем \(C_1\).

Тогда:

\[ A_1C'=A_1C_1,\qquad B_1C'=B_1C_1. \]

Значит, треугольники \(A_1C_1C'\) и \(B_1C_1C'\) — равнобедренные с основанием \(C_1C'\). Поэтому углы при основании равны:

\[ \angle A_1C_1C'=\angle A_1C'C_1, \] \[ \angle B_1C_1C'=\angle B_1C'C_1. \]

Отсюда получаем:

\[ \angle A_1C_1B_1=\angle A_1C'B_1. \]

Теперь рассмотрим треугольники \(A_1B_1C_1\) и \(A_1B_1C'\). У них:

\[ A_1C_1=A_1C',\qquad B_1C_1=B_1C', \]

а углы между этими сторонами равны. По первому признаку равенства треугольников они равны.

Но \(\triangle A_1B_1C'\) — это просто наложенный \(\triangle ABC\). Следовательно,

\[ \triangle ABC=\triangle A_1B_1C_1. \]

Теорема доказана.