Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0 Рокен рол теряем контроль
Краткий ответ
\[ x^{2}-5x+6=0 \quad\Rightarrow\quad x_{1}=2,\; x_{2}=3 \]
Как это получить
Способ 1. Через дискриминант (универсальный, работает всегда)
Выписываем коэффициенты: \(a=1,\; b=-5,\; c=6\).
\[ D=b^{2}-4ac=(-5)^{2}-4\cdot 1\cdot 6=25-24=1 \]
\(D>0\), значит, корней два:
\[ x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}=\frac{5\pm 1}{2} \]
\[ x_{1}=\frac{5-1}{2}=2,\qquad x_{2}=\frac{5+1}{2}=3 \]
Способ 2. По теореме Виета (быстро, если \(a=1\))
Для приведённого уравнения \(x^{2}+px+q=0\):
\[ x_{1}+x_{2}=-p=5,\qquad x_{1}\cdot x_{2}=q=6 \]
Подбираем два числа с суммой 5 и произведением 6 — это 2 и 3.
Способ 3. Разложение на множители
\[ x^{2}-5x+6=(x-2)(x-3)=0 \]
Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель нулевой: \(x-2=0\) или \(x-3=0\).
Проверка
\[ 2^{2}-5\cdot 2+6=4-10+6=0 \] \[ 3^{2}-5\cdot 3+6=9-15+6=0 \]
Оба корня подходят. Ответ: \(x=2\) и \(x=3\).
Принцип на будущее: сначала считай дискриминант — его знак сразу говорит, сколько корней (\(D>0\) — два, \(D=0\) — один, \(D<0\) — нет действительных). А если \(a=1\) и корни целые, Виета экономит время.
А «рок-н-ролл» оставим на перемену — тут у нас уравнение. 🙂
Обсуждение
2 сообщенияА что делать, если дискриминант отрицательный?
Краткий ответ
Если \(D<0\), то действительных корней нет — в ответе так и пишешь: «корней нет» (или «уравнение не имеет решений в действительных числах»). Но есть важная тонкость: это не значит, что «решения нет вообще» — просто они лежат за пределами действительных чисел.
Что происходит и почему
1. Алгебраически. Формула корней содержит \(\sqrt{D}\). Квадратный корень из отрицательного числа в действительных числах не существует.
2. Через полный квадрат — самый наглядный способ увидеть, почему решений нет. Возьмём пример:
\[ x^{2}-2x+5=0 \]
\[ D=(-2)^{2}-4\cdot 1\cdot 5=4-20=-16<0 \]
Выделим полный квадрат:
\[ x^{2}-2x+5=(x-1)^{2}+4 \]
Тогда уравнение превращается в
\[ (x-1)^{2}=-4 \]
Слева квадрат — он всегда \(\ge 0\), справа отрицательное число. Равенство невозможно ни при каком \(x\). Вот и весь смысл отрицательного дискриминанта.
3. Графически. Парабола \(y=x^{2}-2x+5\) имеет вершину в точке \((1;4)\) и ветви вверх, то есть её наименьшее значение равно 4. Она просто не доходит до оси \(Ox\) — точек пересечения нет, значит, и корней нет.
Мини-шпаргалка
\[ D>0 \Rightarrow \text{два корня},\qquad D=0 \Rightarrow \text{один корень},\qquad D<0 \Rightarrow \text{действительных корней нет} \]
При \(D=0\) корень один: \(x=-\frac{b}{2a}\) (это же значение парабола касается оси \(Ox\) в вершине).
Если интересно чуть дальше школьной программы
Отрицательный дискриминант «разрешается», если разрешить извлекать корень из отрицательного числа. Вводят \(i\), где \(i^{2}=-1\). Тогда для нашего примера:
\[ x_{1,2}=\frac{2\pm\sqrt{-16}}{2}=\frac{2\pm 4i}{2}=1\pm 2i \]
Такие числа называют комплексными. В 8 классе это обычно не требуют — пиши «корней нет».
Проверка привычки: прежде чем считать корни, посмотри на знак \(D\). Если он отрицательный — считать \(\sqrt{D}\) не нужно, сразу вывод «корней нет», и на этом решение закончено.
