1,2,3,4,14 и 15 вопросы?

Question

Расшифровка фото нейросетью:
Вопросы для повторения к главе II
1 Объясните, какая фигура называется треугольником. Начертите треугольник и покажите его стороны, вершины и углы. Что такое периметр треугольника?
2 Какие треугольники называются равными?
3 Что такое теорема и доказательство теоремы?
4 Сформулируйте и докажите теорему, выражающую первый признак равенства треугольников.
14 Сформулируйте и докажите теорему, выражающую второй признак равенства треугольников.
15 Сформулируйте и докажите теорему, выражающую третий признак равенства треугольников.

Answer

Краткие ответы

1. Треугольник — это фигура из трёх точек, не лежащих на одной прямой, и трёх отрезков, попарно соединяющих эти точки. Периметр — сумма длин всех его сторон.

2. Треугольники равны, если их можно совместить наложением, то есть все их стороны и углы соответственно равны.

3. Теорема — утверждение, истинность которого устанавливают доказательством; у неё есть условие (что дано) и заключение (что доказывают).

4. Первый признак: по двум сторонам и углу между ними.

14. Второй признак: по стороне и двум прилежащим к ней углам.

15. Третий признак: по трём сторонам.

1. Треугольник и его элементы

Треугольник $ABC$ — три точки $A$, $B$, $C$, не лежащие на одной прямой, соединённые отрезками.

Вершины: $A$, $B$, $C$;

Стороны: $AB$, $BC$, $CA$;

Углы: $\angle A=\angle BAC$, $\angle B=\angle ABC$, $\angle C=\angle BCA$.

Как чертить: поставьте три точки не на одной прямой, соедините их тремя отрезками, подпишите вершины, обведите стороны и отметьте дугами углы.

$$ P_{ABC}=AB+BC+CA $$

2. Равные треугольники

Два треугольника называют равными, если их можно совместить наложением: каждая сторона и каждый угол одного соответственно равны стороне и углу другого.

Запись $\triangle ABC=\triangle A_1B_1C_1$ читается «с учётом порядка букв»: $A\leftrightarrow A_1$, $B\leftrightarrow B_1$, $C\leftrightarrow C_1$. Порядок букв задаёт, какие элементы считаются соответственными.

3. Теорема и доказательство

Теорема — утверждение, которое не принимают на веру, а устанавливают рассуждением.

Условие — то, что дано (например, «две стороны и угол между ними равны»);

заключение — то, что требуется доказать («треугольники равны»).

Доказательство — цепочка логических выводов, где каждый шаг опирается на аксиомы, определения и уже доказанные теоремы. Доказали теорему — ею можно пользоваться как готовым инструментом.

4. Первый признак равенства треугольников

Теорема. Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Дано: $AB=A_1B_1$, $AC=A_1C_1$, $\angle A=\angle A_1$.
Доказать: $\triangle ABC=\triangle A_1B_1C_1$.

Доказательство (наложение).

1. Наложим $\triangle ABC$ на $\triangle A_1B_1C_1$ так, чтобы вершина $A$ совпала с $A_1$, а сторона $AB$ пошла по лучу $A_1B_1$.

2. Так как $AB=A_1B_1$, вершина $B$ совпадёт с $B_1$.

3. Так как $\angle A=\angle A_1$, луч $AC$ пойдёт по лучу $A_1C_1$; так как $AC=A_1C_1$, точка $C$ совпадёт с $C_1$.

4. Значит, совпадут и отрезки $BC$ и $B_1C_1$: треугольники полностью совместились, то есть равны. $\blacksquare$

14. Второй признак равенства треугольников

Теорема. Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Дано: $AB=A_1B_1$, $\angle A=\angle A_1$, $\angle B=\angle B_1$.
Доказать: $\triangle ABC=\triangle A_1B_1C_1$.

Доказательство (наложение).

1. Наложим так, чтобы $A$ совпала с $A_1$, а $AB$ пошла по $A_1B_1$; тогда $B$ совпадёт с $B_1$.

2. Из $\angle A=\angle A_1$ луч $AC$ пойдёт по лучу $A_1C_1$, а из $\angle B=\angle B_1$ луч $BC$ пойдёт по лучу $B_1C_1$.

3. Точка $C$ — пересечение этих двух лучей, а у двух несовпадающих лучей точка пересечения единственна. Значит, $C$ совпадёт с $C_1$.

4. Треугольники совместились, значит, они равны. $\blacksquare$

15. Третий признак равенства треугольников

Теорема. Если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Дано: $AB=A_1B_1$, $BC=B_1C_1$, $CA=C_1A_1$.
Доказать: $\triangle ABC=\triangle A_1B_1C_1$.

Доказательство.

1. Приложим $\triangle ABC$ к $\triangle A_1B_1C_1$ так, чтобы $AB$ совпала с $A_1B_1$, а вершины $C$ и $C_1$ оказались по разные стороны от прямой $A_1B_1$.

2. Тогда $A_1C=A_1C_1$, поэтому $\triangle A_1C_1C$ равнобедренный с основанием $C_1C$, и углы при основании равны: $\angle A_1CC_1=\angle A_1C_1C$.

3. Аналогично $B_1C=B_1C_1$, значит $\triangle B_1C_1C$ равнобедренный и $\angle B_1CC_1=\angle B_1C_1C$.

4. Складывая равенства углов, получаем $\angle A_1CB_1=\angle A_1C_1B_1$.

5. Теперь у треугольников $ABC$ и $A_1B_1C_1$ равны две стороны и угол между ними: $\triangle ABC=\triangle A_1B_1C_1$ по первому признаку. $\blacksquare$

Остальные случаи расположения точки $C$ (луч $CC_1$ идёт по стороне угла или вне его) разбираются такими же рассуждениями с равнобедренными треугольниками.

Проверка и типичные ошибки

В первом признаке угол обязан быть между данными сторонами: две стороны и угол не между ними равенства не дают.

Во втором признаке углы должны прилежать к той самой стороне, а не лежать против неё.

В третьем признаке нужны все три пары сторон; две пары ничего не гарантируют.

В третьем признаке удобно помнить идею: «перегнули по общей стороне — получили два равнобедренных треугольника».

Проверка: подставьте в признак конкретные числа (например, $AB=5$, $AC=4$, $\angle A=40^\circ$) и убедитесь, что треугольник по таким данным строится однозначно — именно это и означает равенство.