Вариант 8. 1. При каких значениях x имеет смысл выражение: 1) √3x; 2) √2x + 14?

Краткий ответ

1. Выражение имеет смысл при:

1. \(\sqrt{3x}\): \(x \ge 0\);
2. \(\sqrt{2x+14}\): \(x \ge -7\).

2. \(\sqrt{0}=0\); \(\sqrt{1}=1\); \(\sqrt{169}=13\); \(\sqrt{0{,}01}=0{,}1\); \(\sqrt{\frac{1}{81}}=\frac{1}{9}\); \(\sqrt{3600}=60\); \(\sqrt{5329}=73\); \(\sqrt{1{,}21}=1{,}1\); \(\sqrt{65{,}61}=8{,}1\); \(\sqrt{2\frac{2}{49}}=\frac{10}{7}=1\frac{3}{7}\).

Почему так

Задание 1. Арифметический квадратный корень существует только из неотрицательного числа, поэтому требуем, чтобы подкоренное выражение было \(\ge 0\):

• \(3x \ge 0 \Rightarrow x \ge 0\);
• \(2x+14 \ge 0 \Rightarrow 2x \ge -14 \Rightarrow x \ge -7\).

(Если в карточке черта корня во втором пункте накрывает только \(2x\), то было бы \(x \ge 0\) — сверь по своей карточке.)

Задание 2. Главный принцип: \(\sqrt{a}=b\) тогда и только тогда, когда \(b \ge 0\) и \(b^{2}=a\). То есть нужно представить число квадратом.

• \(\sqrt{0}=0\), \(\sqrt{1}=1\) — по определению.
• \(13^{2}=169\), значит \(\sqrt{169}=13\).
• Десятичную дробь удобно перевести в обыкновенную: \(0{,}01=\frac{1}{100}\), а \(\left(\frac{1}{10}\right)^{2}=\frac{1}{100}\), поэтому \(\sqrt{0{,}01}=0{,}1\).
• \(\frac{1}{81}=\left(\frac{1}{9}\right)^{2}\), значит \(\sqrt{\frac{1}{81}}=\frac{1}{9}\).
• \(60^{2}=3600\), значит \(\sqrt{3600}=60\).
• \(5329\): между \(70^{2}=4900\) и \(80^{2}=6400\), оканчивается на 9 — подходит 3 или 7; проверяем \(73^{2}=5329\), значит \(\sqrt{5329}=73\).
• \(\sqrt{1{,}21}=\sqrt{\frac{121}{100}}=\frac{11}{10}=1{,}1\).
• \(\sqrt{65{,}61}=\sqrt{\frac{6561}{100}}=\frac{81}{10}=8{,}1\) (так как \(81^{2}=6561\)).
• Смешанное число сначала переводим в неправильную дробь: \(2\frac{2}{49}=\frac{2\cdot49+2}{49}=\frac{100}{49}\), тогда \(\sqrt{\frac{100}{49}}=\frac{10}{7}=1\frac{3}{7}\).

Проверка: \(13^{2}=169\), \(1{,}1^{2}=1{,}21\), \(8{,}1^{2}=65{,}61\), \(73^{2}=5329\), \(\left(\frac{10}{7}\right)^{2}=\frac{100}{49}=2\frac{2}{49}\) — всё сходится.