\(6^x+\left(\frac{1}{6}\right)^x>2\)

На фото ниже записано неравенство:

\[ 6^x+\left(\frac{1}{6}\right)^x>2 \]

Краткий ответ:

\[ x\in(-\infty;0)\cup(0;+\infty) \]

То есть подходят все действительные \(x\), кроме \(0\).

Как решать:

1. Обозначим \[ t=6^x. \] Так как показательная функция положительна, \[ t>0. \]

2. При этом \[ \left(\frac{1}{6}\right)^x=\frac{1}{6^x}=\frac{1}{t}. \] Получаем: \[ t+\frac{1}{t}>2. \]

3. Умножаем обе части на \(t>0\): \[ t^2+1>2t, \] \[ t^2-2t+1>0, \] \[ (t-1)^2>0. \]

Квадрат положителен всегда, кроме случая, когда он равен нулю: \[ t-1=0,\qquad t=1. \]

4. Возвращаемся к \(x\): \[ 6^x\ne 1. \] Но \[ 1=6^0, \] а показательная функция принимает каждое положительное значение только один раз, значит: \[ 6^x=1 \quad\Rightarrow\quad x=0. \] Поэтому \(x=0\) нужно исключить.

Проверка:

При \(x=0\): \[ 6^0+\left(\frac{1}{6}\right)^0=1+1=2, \] а неравенство строгое, значит \(x=0\) не подходит.

При \(x=1\): \[ 6+\frac{1}{6}>2, \] подходит.

Ответ: \(x\in(-\infty;0)\cup(0;+\infty)\).