Дано: △ABC – правильный треугольник D∉(ABC) DA=DB=DC=AB Исходя из данных рисунка, найди квадрат косинуса угла между прямыми CM и AB. Результат округли до сотых.

Question

Реши задание на изображении

Расшифровка фото нейросетью:
Упражнение 51 из 51

[Рисунок: точки $A$, $B$, $C$, $D$ соединены отрезками; $M$ лежит на $AD$; на $AM$ и $MD$ нанесены одинаковые штрихи; отрезок $AB$ показан штриховой линией.]
Дано:
$\triangle ABC$ — правильный треугольник
$D\notin(ABC)$
$DA=DB=DC=AB$

Исходя из данных рисунка, найди квадрат косинуса угла между прямыми $CM$ и $AB$. Результат округли до сотых.

Запиши в поле ответа верное число.

Answer

Краткий ответ: $0{,}08$ (то же число при записи с точкой: $0.08$).

Как это получить

1. Из условия $ABC$ — правильный, а $DA=DB=DC=AB$, значит, все рёбра тетраэдра равны. Можно принять $AB=1$.

2. По одинаковым отметкам на рисунке $AM=MD$, то есть $M$ — середина $AD$.

3. Обозначим векторы, выходящие из $A$:
$$
\vec{AB}=\mathbf b,\qquad \vec{AC}=\mathbf c,\qquad \vec{AD}=\mathbf d.
$$
Все они имеют длину $1$, а углы между ними по $60^\circ$, поэтому
$$
\mathbf b\cdot\mathbf c=\mathbf b\cdot\mathbf d=\mathbf c\cdot\mathbf d=\frac12.
$$

4. Так как $M$ — середина $AD$,
$$
\vec{CM}=\frac12\mathbf d-\mathbf c.
$$
Находим скалярное произведение:
$$
\vec{CM}\cdot\mathbf b
=\frac12(\mathbf d\cdot\mathbf b)-\mathbf c\cdot\mathbf b
=\frac12\cdot\frac12-\frac12
=-\frac14.
$$
Длина $CM$:
$$
|\vec{CM}|^2
=\left|\frac12\mathbf d-\mathbf c\right|^2
=\frac14+1-2\cdot\frac12\cdot\frac12
=\frac34.
$$

5. Тогда
$$
\cos^2\varphi
=\frac{(\vec{CM}\cdot\mathbf b)^2}{|\vec{CM}|^2|\mathbf b|^2}
=\frac{\left(\frac14\right)^2}{\frac34\cdot1}
=\frac1{12}\approx0{,}0833.
$$
Округляя до сотых, получаем:
$$
\boxed{0{,}08}
$$

Знак косинуса для угла между прямыми не важен, потому что в задании нужен именно квадрат косинуса.