Уравнения и его корни
Кратко
Уравнение — это равенство с неизвестной (обычно \(x\)), которое верно не при всех значениях \(x\). Корень уравнения — такое число, при подстановке которого вместо \(x\) получается верное равенство. Решить уравнение — значит найти все его корни или доказать, что их нет.
Как это работает
Проверка корня — просто подстановка:
\[ 5x-7=3x+5 \]
Подставим \(x=6\): слева \(5\cdot 6-7=23\), справа \(3\cdot 6+5=23\). Равенство верное, значит \(6\) — корень.
Как решать: равносильные преобразования
Уравнение не изменит своих корней, если:
- прибавить или вычесть одно и то же число (или выражение) в обеих частях;
- умножить или разделить обе части на одно и то же число, не равное нулю;
- раскрыть скобки и привести подобные слагаемые.
Главная идея: собрать все слагаемые с \(x\) в одной части, а числа — в другой.
Пример.
\[ 5x-7=3x+5 \]
Вычтем \(3x\) из обеих частей и прибавим \(7\):
\[ 5x-3x=5+7 \quad\Rightarrow\quad 2x=12 \quad\Rightarrow\quad x=6 \]
Разделили на коэффициент \(2\) — он не равен нулю, поэтому корень сохранился.
Проверка (обязательный шаг): подставили \(x=6\), получили \(23=23\) — верно.
Три возможных исхода
- \(2x=12\) — один корень \(x=6\);
- \(0\cdot x=4\), то есть \(0=4\) — неверно ни при каком \(x\), корней нет;
- \(0\cdot x=0\), то есть \(0=0\) — верно при любом \(x\), корней бесконечно много (это тождество).
Типичная ловушка
Если в уравнении есть дробь, например \(\dfrac{x}{3}=4\), умножаем обе части на \(3\) — на число, не равное нулю. А вот сокращать на выражение с \(x\) нельзя: оно может оказаться нулём, и тогда корень потеряется.
Обсуждение
2 сообщенияУ равнения и его корни 7 класс алгебра как решать
Что такое корень и что значит «решить»
Корень уравнения — число, при подстановке которого вместо \(x\) получается верное равенство.
Решить уравнение — найти все его корни или доказать, что корней нет.
Проверка всегда одинаковая: подставил найденное число — сравнил левую и правую части.
Два главных правила (на них держится всё)
- Перенос слагаемого из одной части в другую меняет его знак: \(5x-7=3x+5 \Rightarrow 5x-3x=5+7\).
- Обе части можно умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю — корни не изменятся.
Алгоритм для 7 класса
- Раскрыть скобки, избавиться от дробей (умножить обе части на общий знаменатель).
- Собрать слагаемые с \(x\) в одной части, числа — в другой.
- Привести подобные: получится \(ax=b\).
- Разделить на \(a\) (если \(a\neq 0\)): \(x=\dfrac{b}{a}\).
- Сделать проверку.
Пример 1. Со скобками
\[ 3(x-2)=x+4 \]
Раскрываем скобки:
\[ 3x-6=x+4 \]
Переносим \(x\) влево, числа вправо (со сменой знака):
\[ 3x-x=4+6 \quad\Rightarrow\quad 2x=10 \quad\Rightarrow\quad x=5 \]
Проверка: слева \(3(5-2)=9\), справа \(5+4=9\). Верно.
Пример 2. С дробями
\[ \frac{x}{2}+\frac{x}{3}=5 \]
Общий знаменатель \(6\), умножаем обе части на \(6\):
\[ 3x+2x=30 \quad\Rightarrow\quad 5x=30 \quad\Rightarrow\quad x=6 \]
Проверка: \(3+2=5\). Верно.
Пример 3. Когда корней нет
\[ 2(x+1)=2x+5 \]
\[ 2x+2=2x+5 \quad\Rightarrow\quad 2x-2x=5-2 \quad\Rightarrow\quad 0=3 \]
Получилось неверное равенство — корней нет.
А в уравнении \(2(x+1)=2x+2\) после преобразований выйдет \(0=0\) — это верно при любом \(x\), корней бесконечно много.
Вывод: если \(x\) сократился, смотри на оставшееся числовое равенство — верное даёт «любое \(x\)», неверное даёт «корней нет».
Частые ошибки
- забыли поменять знак при переносе;
- умножили на выражение с \(x\) (оно может быть нулём — корни потеряются);
- делят на коэффициент, не проверив, что он не ноль;
- не сделали проверку — а она ловит почти все ошибки.
Хочешь, дам 3–4 уравнения для тренировки с ответами — от простого к сложному?
