ты сможешь мне помочь с геометрией

Стараюсь не спешить, чтобы не ошибиться в решении, — иногда на проверку условия уходит чуть больше времени. Здесь основная тема — учёба, а пообщаться с людьми можно в комьюнити Новой Школы: Telegram и ВКонтакте. Присылай задание по геометрии — разберём.

Точное время назвать не могу — зависит от задания. Обычно просто пишу ответ, а дольше думаю, только если условие нужно внимательно проверять. Здесь главная тема — учёба; пообщаться можно в комьюнити Новой Школы: Telegram и ВКонтакте. Присылай геометрию — разберём.

Оформляю коротко, по-школьному.

№ 30

Дано:
Прямые \(a,b,c\) проходят через точку \(O\);
\(a\cap\alpha=A,\ b\cap\alpha=B,\ c\cap\alpha=C\);
\(a\cap\beta=A_1,\ b\cap\beta=B_1,\ c\cap\beta=C_1\);
\(\alpha\parallel\beta\).

Доказать:
\[ \triangle ABC\sim\triangle A_1B_1C_1. \]

Доказательство:

1. Плоскость \((OAB)\) пересекает параллельные плоскости \(\alpha\) и \(\beta\) по прямым \(AB\) и \(A_1B_1\). Значит, \[ AB\parallel A_1B_1. \] Аналогично: \[ BC\parallel B_1C_1,\qquad CA\parallel C_1A_1. \]

2. Тогда \[ \triangle OAB\sim\triangle OA_1B_1, \] поэтому \[ \frac{A_1B_1}{AB}=\frac{OA_1}{OA}=\frac{OB_1}{OB}. \]

Аналогично из \(\triangle OBC\sim\triangle OB_1C_1\): \[ \frac{B_1C_1}{BC}=\frac{OB_1}{OB}, \] а из \(\triangle OCA\sim\triangle OC_1A_1\): \[ \frac{C_1A_1}{CA}=\frac{OA_1}{OA}. \]

Следовательно, \[ \frac{A_1B_1}{AB}=\frac{B_1C_1}{BC}=\frac{C_1A_1}{CA}. \]

Значит, по третьему признаку подобия: \[ \triangle ABC\sim\triangle A_1B_1C_1. \]

№ 31

Дано:
Прямые \(AB,AC,AD,AE\) проходят через точку \(A\);
\(B,C,D,E\in\alpha\);
\(BCDE\) — параллелограмм;
\(\beta\parallel\alpha,\quad A\notin\beta\);
\(AB\cap\beta=B_1,\ AC\cap\beta=C_1,\ AD\cap\beta=D_1,\ AE\cap\beta=E_1\).

Доказать:
\(B_1C_1D_1E_1\) — параллелограмм.

Доказательство:

1. Плоскость \((ABC)\) пересекает \(\alpha\) по \(BC\), а \(\beta\) по \(B_1C_1\). Так как \(\alpha\parallel\beta\), то \[ B_1C_1\parallel BC. \]

Аналогично: \[ C_1D_1\parallel CD,\qquad D_1E_1\parallel DE,\qquad E_1B_1\parallel EB. \]

2. Так как \(BCDE\) — параллелограмм, то \[ BC\parallel DE,\qquad CD\parallel EB. \]

Значит, \[ B_1C_1\parallel D_1E_1,\qquad C_1D_1\parallel E_1B_1. \]

В четырёхугольнике \(B_1C_1D_1E_1\) противоположные стороны параллельны, поэтому он является параллелограммом.

№ 37

Дано:
\(\triangle A'B'C'\) — параллельная проекция треугольника \(ABC\).

Построить:
проекции медиан треугольника \(ABC\).

Построение:

1. На изображении \(A'B'C'\) отметим середины сторон: \[ M'\in B'C',\qquad N'\in C'A',\qquad P'\in A'B'. \]

2. Проведём отрезки \[ A'M',\qquad B'N',\qquad C'P'. \]

Это и есть проекции медиан \(AM,BN,CP\).

Точка их пересечения \(G'\) — проекция точки пересечения медиан \(G\).

Обоснование:
При параллельном проектировании середина отрезка переходит в середину его проекции. Поэтому медиана \(AM\) переходит в отрезок \(A'M'\), то есть в медиану треугольника \(A'B'C'\).

Кратко: две прямые в пространстве называются перпендикулярными, если угол между ними равен \(90^\circ\). При этом они совсем не обязаны пересекаться — это ключевое отличие от планиметрии.

Что такое угол между прямыми в пространстве

Если прямые \(a\) и \(b\) пересекаются, угол между ними — обычный угол при точке пересечения.

Если они скрещиваются (не пересекаются и не параллельны), поступаем так: через любую точку пространства проводим прямую \(a'\parallel a\). Угол между \(b\) и этой \(a'\) и считают углом между \(a\) и \(b\).

Отсюда определение:

\[ a\perp b \iff \text{угол между } a \text{ и } b \text{ равен } 90^\circ \]

Важные моменты

1. Пересекаться не требуется. Например, в кубе \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) ребро \(AB\) и ребро \(B_1C_1\) скрещиваются, но \(AB\perp B_1C_1\), потому что \(B_1C_1\parallel BC\), а \(AB\perp BC\).

2. Если две пересекающиеся прямые перпендикулярны, они лежат в одной плоскости.

3. Перпендикулярность прямых не переносится автоматически на «любые похожие» прямые: важно, о какой именно паре идёт речь.

4. Часто в задачах удобно пользоваться признаком: если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна всей этой плоскости (а значит, и любой прямой в ней). Это уже про перпендикулярность прямой и плоскости — следующий пункт учебника.

Пример на понимание

Дан куб \(ABCDA_1B_1C_1D_1\). Перпендикулярны ли \(AC\) и \(B_1D_1\)?

\(AC\) — диагональ нижнего основания, \(B_1D_1\parallel BD\) — диагональ верхнего основания. В квадрате диагонали взаимно перпендикулярны, значит \(AC\perp BD\), а так как \(BD\parallel B_1D_1\), получаем \(AC\perp B_1D_1\), хотя эти прямые скрещиваются.

Хочешь, разберём на кубе ещё пару пар прямых — пересекающихся и скрещивающихся, — чтобы закрепить?