Дано: △ABC — правильный треугольник D∉(ABC) DA=DB=DC=AB Исходя из данных рисунка, найди квадрат косинуса угла между прямыми CM и AB

Question

Реши задание на изображении

Расшифровка фото нейросетью:
[Рисунок: тетраэдр $ABCD$; точка $M$ лежит на ребре $AD$; отрезок $AB$ изображён штриховой линией; проведены отрезки $CM$ и $CD$; на ребре $AD$ нанесены короткие поперечные отметки делений, точка $M$ расположена ближе к $D$.]

Дано:
$\triangle ABC$ — правильный треугольник
$D\notin (ABC)$
$DA=DB=DC=AB$

Исходя из данных рисунка, найди квадрат косинуса угла между прямыми $CM$ и $AB$. Результат округли до сотых.

Запиши в поле ответа верное число.

Answer

Краткий ответ: $0{,}01$.

По делениям на рисунке точка $M$ делит ребро $AD$ в отношении
$$
AM:MD=4:1,
$$
то есть $\overrightarrow{AM}=\frac45\overrightarrow{AD}$.

Пусть длина ребра тетраэдра равна $1$. Обозначим
$$
\mathbf b=\overrightarrow{AB},\qquad
\mathbf c=\overrightarrow{AC},\qquad
\mathbf d=\overrightarrow{AD}.
$$
Так как все рёбра равны, тетраэдр правильный, поэтому
$$
|\mathbf b|=|\mathbf c|=|\mathbf d|=1,\qquad
\mathbf b\cdot\mathbf c=\mathbf b\cdot\mathbf d=\mathbf c\cdot\mathbf d=\frac12.
$$

Тогда
$$
\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{AC}
=\frac45\mathbf d-\mathbf c.
$$
Найдём скалярное произведение направления $CM$ с направлением $AB$:
$$
\overrightarrow{CM}\cdot\mathbf b
=\frac45(\mathbf d\cdot\mathbf b)-\mathbf c\cdot\mathbf b
=\frac45\cdot\frac12-\frac12
=-\frac1{10}.
$$

Квадрат длины $CM$:
$$
\left|\overrightarrow{CM}\right|^2
=\left|\frac45\mathbf d-\mathbf c\right|^2
=\frac{16}{25}+1-2\cdot\frac45\cdot\frac12
=\frac{21}{25}.
$$

Значит,
$$
\cos^2\angle(CM,AB)
=\frac{\left(\overrightarrow{CM}\cdot\mathbf b\right)^2}
{\left|\overrightarrow{CM}\right|^2|\mathbf b|^2}
=\frac{\frac1{100}}{\frac{21}{25}}
=\frac1{84}
\approx 0{,}0119.
$$
Округляем до сотых:
$$
\boxed{0{,}01}
$$