реши задания 68 и 76 с дано найти решение
Сверь числа и знаки с фото.
68 Точки M и N — середины рёбер AB и AC тетраэдра ABCD. Докажите, что прямая MN параллельна плоскости BCD.
76 Дан параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁. Докажите, что AC ∥ A₁C₁ и BD ∥ B₁D₁.
№ 68
Дано: тетраэдр \(ABCD\); \(M\) — середина \(AB\), \(N\) — середина \(AC\). Доказать: \(MN \parallel (BCD)\).
Доказательство. \(MN\) — средняя линия \(\triangle ABC\), поэтому \(MN \parallel BC\). Прямая \(BC\) лежит в плоскости \(BCD\). По признаку параллельности прямой и плоскости: если прямая параллельна прямой, лежащей в плоскости, то она параллельна самой плоскости. Значит, \(MN \parallel (BCD)\).
№ 76
Дано: параллелепипед \(ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\). Доказать: \(AC \parallel A_{1}C_{1}\), \(BD \parallel B_{1}D_{1}\).
Доказательство. В параллелепипеде \(AA_{1} \parallel CC_{1}\) и \(AA_{1} = CC_{1}\), значит, \(AA_{1}C_{1}C\) — параллелограмм. Поэтому \(AC \parallel A_{1}C_{1}\).
Аналогично \(BB_{1} \parallel DD_{1}\) и \(BB_{1} = DD_{1}\), значит, \(BB_{1}D_{1}D\) — параллелограмм, откуда \(BD \parallel B_{1}D_{1}\).
Обсуждение
6 сообщенийточно правильно?
Да, оба доказательства верны. Вот проверка по учебнику:
№ 68. \(M\) и \(N\) — середины \(AB\) и \(AC\), значит, \(MN\) — средняя линия \(\triangle ABC\), поэтому \(MN \parallel BC\). Так как \(BC \subset (BCD)\), а \(MN \not\subset (BCD)\), по признаку параллельности прямой и плоскости получаем \(MN \parallel (BCD)\).
№ 76. В параллелепипеде \(AA_{1} \parallel CC_{1}\) и \(AA_{1}=CC_{1}\), поэтому \(AA_{1}C_{1}C\) — параллелограмм, откуда \(AC \parallel A_{1}C_{1}\). Аналогично \(BB_{1} \parallel DD_{1}\) и \(BB_{1}=DD_{1}\), значит, \(BB_{1}D_{1}D\) — параллелограмм и \(BD \parallel B_{1}D_{1}\).
В № 68 я только не дописал явно, что \(MN\) не лежит в плоскости \(BCD\), — для строгого применения признака это стоит указать. В остальном всё правильно.
а можешь пожалуйста сделать чертежи к двум задачам
Вот чертежи-схемы для переноса в тетрадь.
№ 68
A
/|\
/ | \
M • | • N
/ | \
/ | \
B-----┼-----C
\ | /
\ | /
\ D /
\ | /
\|/
\(M\) — середина \(AB\), \(N\) — середина \(AC\). Соедини \(M\) и \(N\); отметь, что \(MN \parallel BC\). Плоскость \(BCD\) — основание.
№ 76
Основной чертёж параллелепипеда:
D₁--------C₁
/| /|
A₁-|-------B₁ |
| | | |
| D--------|-C
|/ |/
A----------B
В нижней грани проведи диагонали \(AC\) и \(BD\), в верхней — \(A_1C_1\) и \(B_1D_1\):
Нижняя грань ABCD: Верхняя грань A₁B₁C₁D₁:
D────────C D₁───────C₁
│╲ ╱│ │╲ ╱│
│ ╲ ╱ │ │ ╲ ╱ │
│ ╳ │ │ ╳ │
│ ╱ ╲ │ │ ╱ ╲ │
│╱ ╲│ │╱ ╲│
A────────B A₁───────B₁
На чертеже отметь одинаковыми стрелками: \(AC \parallel A_1C_1\) и \(BD \parallel B_1D_1\).
а можешь пожалуйста сделать чертежи к двум задачам
Вот аккуратные чертежи-схемы. Перенеси в тетрадь главное: вершины, отрезки и отмеченные точки.
№ 68
A
/|\
/ | \
M •——|——• N
/ | \
/ | \
B————+————C
\ | /
\ | /
\ | /
\|/
D
\(M\) — середина \(AB\), \(N\) — середина \(AC\).
Проведи \(MN\); она параллельна \(BC\), значит, \(MN \parallel (BCD)\).
№ 76
Параллелепипед:
D₁────────C₁
/│ /│
A₁────────B₁ │
│ │ │ │
│ D───────│─C
│/ │/
A─────────B
На гранях проведи диагонали:
Нижняя грань ABCD: Верхняя грань A₁B₁C₁D₁:
D ───────── C D₁ ──────── C₁
│ ╲ ╱ │ │ ╲ ╱ │
│ ╲ ╱ │ │ ╲ ╱ │
│ ╳ │ │ ╳ │
│ ╱ ╲ │ │ ╱ ╲ │
│ ╱ ╲ │ │ ╱ ╲ │
A ───────── B A₁ ──────── B₁
В нижней грани — диагонали \(AC\) и \(BD\), в верхней — \(A_1C_1\) и \(B_1D_1\).
Отсюда видно, что \(AC \parallel A_1C_1\) и \(BD \parallel B_1D_1\).
