В кубе ABCDA1B1C1D1 точки K, M и N — середины рёбер B1C1, D1C1 и CD соответственно. Диагонали квадрата ABCD пересекаются в точке O.

Ответ (по порядку строк):

1. \(BD\) и \(KM\) — параллельны
2. \(BN\) и \(AD\) — пересекаются
3. \(CC_1\) и \(KM\) — скрещиваются
4. \(ON\) и \(A_1D_1\) — параллельны
5. \(BD\) и \(MN\) — скрещиваются

Три инструмента, которыми решается вся задача

• Через третью прямую: если \(a \parallel c\) и \(b \parallel c\), то \(a \parallel b\) (сюда же — средняя линия треугольника).
• Одна плоскость: если обе прямые лежат в одной плоскости и не параллельны, то они пересекаются.
• Признак скрещивания: одна прямая лежит в плоскости \(\alpha\), а вторая пересекает \(\alpha\) в точке, не принадлежащей первой прямой, — тогда прямые скрещиваются (при этом они не параллельны).

Разбор

1. \(K\) и \(M\) — середины \(B_1C_1\) и \(D_1C_1\), значит \(KM\) — средняя линия треугольника \(B_1C_1D_1\), поэтому \(KM \parallel B_1D_1\). Диагонали \(B_1D_1\) и \(BD\) параллельны (это диагонали равных параллельных квадратов — верхней и нижней граней). Итог: \(KM \parallel BD\).

2. \(B\), \(N\), \(A\), \(D\) лежат в плоскости основания \(ABCD\) (ведь \(N \in CD\)), значит прямые \(BN\) и \(AD\) — в одной плоскости. Параллельными они быть не могут: через \(B\) проходит единственная прямая, параллельная \(AD\), — это \(BC\), а \(N\) на \(BC\) не лежит. Значит, они пересекаются (точка пересечения лежит на продолжении \(AD\) за точку \(D\), уже вне куба — для прямых это нормально).

3. \(KM\) целиком лежит в плоскости верхней грани, а \(CC_1\) пересекает эту плоскость только в точке \(C_1\). При этом \(C_1 \notin KM\): \(K\) и \(M\) — середины сторон \(B_1C_1\) и \(D_1C_1\), то есть прямая \(KM\) отрезает от грани треугольник \(KC_1M\) и через вершину \(C_1\) не проходит. Значит, общих точек нет. Параллельными они тоже не являются: \(KM \parallel B_1D_1\), а \(CC_1 \parallel BB_1\), но диагональ \(B_1D_1\) не параллельна ребру \(BB_1\). Итог: скрещиваются.

4. В треугольнике \(BCD\) точка \(O\) — середина \(BD\) (диагонали квадрата делятся пополам), \(N\) — середина \(CD\). Значит, \(ON\) — средняя линия, \(ON \parallel BC\). А \(BC \parallel AD \parallel A_1D_1\). Итог: \(ON \parallel A_1D_1\).

5. В грани \(DCC_1D_1\): \(D_1M\) и \(DN\) лежат на параллельных рёбрах \(D_1C_1\) и \(DC\) и равны половине стороны, поэтому \(D_1MND\) — параллелограмм, откуда \(MN \parallel D_1D\), то есть \(MN \parallel DD_1\). Прямая \(MN\) лежит в плоскости грани \(DCC_1D_1\), а \(BD\) пересекает эту плоскость только в точке \(D\), причём \(D \notin MN\). Общих точек нет, а параллельными они быть не могут (\(BD\) лежит в основании, \(MN\) параллельна боковому ребру). Итог: скрещиваются.

Проверка координатами. Пусть ребро равно 1: \[ A(0;0;0),\ B(1;0;0),\ C(1;1;0),\ D(0;1;0),\ A_1(0;0;1),\ B_1(1;0;1),\ C_1(1;1;1),\ D_1(0;1;1), \] \[ K(1;\,0{,}5;\,1),\quad M(0{,}5;\,1;\,1),\quad N(0{,}5;\,1;\,0),\quad O(0{,}5;\,0{,}5;\,0). \] Направляющие векторы: \(\overrightarrow{BD}=(-1;1;0)\), \(\overrightarrow{KM}=(-0{,}5;0{,}5;0)\) — пропорциональны (параллельны); \(\overrightarrow{BN}=(-0{,}5;1;0)\) и \(\overrightarrow{AD}=(0;1;0)\) — не пропорциональны, но обе прямые в плоскости \(z=0\) (пересекаются); \(\overrightarrow{CC_1}=(0;0;1)\) и \(\overrightarrow{KM}\) — общих точек нет (скрещиваются); \(\overrightarrow{ON}=(0;0{,}5;0)\) и \(\overrightarrow{A_1D_1}=(0;1;0)\) — параллельны; \(\overrightarrow{MN}=(0;0;-1)\) и \(\overrightarrow{BD}\) — общих точек нет (скрещиваются). Всё сходится.

Общий приём для похожих заданий: сначала ищите средние линии и параллельные рёбра (это сразу даёт «параллельны»), затем проверяйте, лежат ли обе прямые в одной грани или плоскости сечения (если да и не параллельны — «пересекаются»), а всё остальное — «скрещиваются».