Задание 1. Дан прямоугольник , и точка О. Построить фигуру, гомотетичную данному прямоугольнику относительно центра О с коэффициентом k = -3.

Краткий ответ

Искомая фигура — прямоугольник, который в 3 раза больше исходного, повёрнут около точки \(O\) на \(180^\circ\) и расположен по другую сторону от \(O\).

Для каждой вершины \(X\) её образ \(X'\) строится по правилу \[ \overrightarrow{OX'}=-3\overrightarrow{OX}. \]

Пошаговое построение

1. Обозначь вершины исходного прямоугольника: \(A,B,C,D\).
2. Для вершины \(A\) проведи прямую \(OA\). На луче, противоположном лучу \(OA\), отложи от \(O\) отрезок \(OA'=3\,OA\).
3. Так же построй точки \(B',C',D'\): \[ OB'=3\,OB,\qquad OC'=3\,OC,\qquad OD'=3\,OD. \]
4. Соедини точки \(A',B',C',D'\) в том же порядке.

Важно: при \(k=-3\) точки переходят не на тот же луч, а на противоположный. Если бы было \(k=3\), откладывали бы в направлении вершины; при \(k=-3\) — в противоположную сторону.

Проверка

• Точки \(O,X,X'\) лежат на одной прямой, причём \(O\) находится между \(X\) и \(X'\).
• \(OX'=3\,OX\).
• Гомотетия сохраняет углы и увеличивает все длины в 3 раза, поэтому \(A'B'C'D'\) — тоже прямоугольник, его стороны в 3 раза больше сторон исходного. Соответствующие стороны параллельны.
• Площадь полученного прямоугольника в \(3^2=9\) раз больше исходной.

На рисунке исходный прямоугольник находится выше и правее \(O\), значит его изображение будет ниже и левее \(O\).