1. Высота равностороннего треугольника равна 12√3. Найдите сторону этого треугольника.

Кратко:

1. \(24\)
2. \(24\)
3. \(26\)
4. \(5\)

Общий принцип для пунктов 1–3. В равностороннем треугольнике со стороной \(a\) высота, медиана и биссектриса совпадают, поэтому \[ h=\frac{a\sqrt{3}}{2}. \]

1. \(12\sqrt{3}=\frac{a\sqrt{3}}{2}\), значит \(a=24\).
   Проверка: \(\frac{24\sqrt{3}}{2}=12\sqrt{3}\).

2. \(h=\frac{16\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}}{2}=\frac{16\cdot 3}{2}=24\).

3. Биссектриса в равностороннем треугольнике равна высоте: \[ 13\sqrt{3}=\frac{a\sqrt{3}}{2}, \] откуда \(a=26\).

4. Угол \(C\) прямой, поэтому \(AC\) и \(BC\) — катеты, а \(AB\) — гипотенуза: \[ AB=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{100}=10. \] В прямоугольном треугольнике центр описанной окружности лежит в середине гипотенузы, поэтому радиус равен её половине: \[ R=\frac{10}{2}=5. \]