1. Высота равностороннего треугольника равна 12√3. Найдите сторону этого треугольника.

Question

Реши задание на изображении

Расшифровка фото нейросетью:
1. Высота равностороннего треугольника равна $12\sqrt{3}$. Найдите сторону этого треугольника.

2. Сторона равностороннего треугольника равна $16\sqrt{3}$. Найдите высоту этого треугольника.

3. Биссектриса равностороннего треугольника равна $13\sqrt{3}$. Найдите сторону этого треугольника.

4. В треугольнике ABC известно, что $AC=6$, $BC=8$, угол C равен $90^\circ$. Найдите радиус описанной около этого треугольника окружности.

Answer

Ответы:

1. $24$

2. $24$

3. $26$

4. $5$

Ключевой принцип

В равностороннем треугольнике со стороной $a$ высота равна

$$
h=\frac{a\sqrt3}{2}.
$$

Это следует из теоремы Пифагора: высота делит сторону пополам, поэтому

$$
h^2=a^2-\left(\frac a2\right)^2=\frac{3a^2}{4}.
$$

Также в равностороннем треугольнике высота, медиана и биссектриса совпадают.

1. $12\sqrt3=\dfrac{a\sqrt3}{2}$, значит $a=24$.

2. $$
h=\frac{16\sqrt3\cdot\sqrt3}{2}
=\frac{16\cdot3}{2}=24.
$$

3. Биссектриса равна высоте:
$$
13\sqrt3=\frac{a\sqrt3}{2},
$$
отсюда $a=26$.

4. Угол $C=90^\circ$, значит $AC$ и $BC$ — катеты, а $AB$ — гипотенуза:
$$
AB=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{100}=10.
$$
В прямоугольном треугольнике центр описанной окружности — середина гипотенузы, поэтому радиус равен половине гипотенузы:
$$
R=\frac{AB}{2}=5.
$$

Проверка:
$$
\frac{24\sqrt3}{2}=12\sqrt3,\qquad
\frac{16\sqrt3\cdot\sqrt3}{2}=24,\qquad
\frac{26\sqrt3}{2}=13\sqrt3.
$$
В п. 4 середина гипотенузы находится на расстоянии $5$ от всех вершин.