решить 3.5.1.

\(\angle ANB=90^\circ\) по теореме Фалеса: вписанный угол, опирающийся на диаметр, прямой.

Почему: диаметр \(AB\) отсекает дугу \(180^\circ\), а вписанный угол равен половине дуги, на которую опирается:

\[ \angle ANB=\frac{180^\circ}{2}=90^\circ. \]

Дальше из прямоугольного треугольника \(ANB\):

\[ \angle NAB=180^\circ-90^\circ-71^\circ=19^\circ. \]

А \(\angle NMB\) и \(\angle NAB\) опираются на одну дугу \(NB\), поэтому \(\angle NMB=19^\circ\).

Дано:

• окружность;
• \(AB\) — диаметр;
• точки \(M\) и \(N\) лежат на окружности по разные стороны от \(AB\);
• \(\angle NBA=71^\circ\).

Найти: \(\angle NMB\).

Ответ: \(19^\circ\).

Дано:

• окружность с центром \(O\);
• точки \(A\), \(B\), \(C\) лежат на окружности;
• \(\angle ABC=62^\circ\);
• \(\angle OAB=53^\circ\).

Найти: \(\angle BCO\).

Решение:

1. \(OA=OB\) как радиусы, поэтому треугольник \(AOB\) равнобедренный: \[ \angle ABO=\angle OAB=53^\circ. \]

2. Луч \(BO\) проходит внутри угла \(ABC\), значит \[ \angle OBC=\angle ABC-\angle ABO=62^\circ-53^\circ=9^\circ. \]

3. \(OB=OC\) как радиусы, поэтому треугольник \(BOC\) равнобедренный: \[ \angle BCO=\angle OBC=9^\circ. \]

Ответ: \(9^\circ\).