Заряд конденсатора в колебательном контуре изменяется по закону q(t)=0,005cos(600t). Чему равна полная энергия колебательного контура в мкДж, если индуктивность катушки 500 мкГн?
Краткий ответ: полная энергия контура
\[
W \approx 2{,}25\cdot10^{-3}\ \text{Дж}=2250\ \text{мкДж}.
\]
Как решать:
Заряд меняется по закону \[ q(t)=Q_m\cos(\omega t), \] где \(Q_m=0{,}005\) Кл, \(\omega=600\) рад/с.
Сила тока — производная заряда: \[ i(t)=q'(t)=-Q_m\omega\sin(\omega t). \] Значит, максимальный ток \[ I_m=Q_m\omega=0{,}005\cdot600=3\ \text{А}. \]
Полная энергия колебательного контура равна максимальной энергии магнитного поля катушки: \[ W=\frac{L I_m^2}{2}. \]
Подставляем \(L=500\ \text{мкГн}=500\cdot10^{-6}=5\cdot10^{-4}\ \text{Гн}\): \[ W=\frac{5\cdot10^{-4}\cdot 3^2}{2} =2{,}25\cdot10^{-3}\ \text{Дж}. \]
Переводим в микроджоули: \[ 2{,}25\cdot10^{-3}\ \text{Дж} =2250\ \text{мкДж}. \]
Проверка через электроёмкость:
Из \(\omega=\frac{1}{\sqrt{LC}}\):
\[
C=\frac{1}{L\omega^2}
=\frac{1}{5\cdot10^{-4}\cdot600^2}
=\frac{1}{180}\ \text{Ф}.
\]
Тогда
\[
W=\frac{Q_m^2}{2C}
=\frac{0{,}005^2}{2/180}
=0{,}00225\ \text{Дж},
\]
то же самое.
Ответ: \(2250\) мкДж.
Обсуждение
7 сообщенийКолебательный контур состоит из катушки индуктивностью 50 мкГн и конденсатора. Максимальное значение силы тока на катушке равно 40 мА, а максимальное напряжение на конденсаторе 200 В. Чему равна ёмкость конденсатора в пФ?
Ответ: \(2\) пФ.
В идеальном колебательном контуре максимальная энергия магнитного поля катушки равна максимальной энергии электрического поля конденсатора: \[ \frac{L I_m^2}{2}=\frac{C U_m^2}{2}. \]
Отсюда \[ C=\frac{L I_m^2}{U_m^2}. \]
Подставляем: \[ L=50\ \text{мкГн}=50\cdot10^{-6}\ \text{Гн},\quad I_m=40\ \text{мА}=0{,}04\ \text{А},\quad U_m=200\ \text{В}. \]
\[ C=\frac{50\cdot10^{-6}\cdot(0{,}04)^2}{200^2} =\frac{50\cdot10^{-6}\cdot0{,}0016}{40000} =2\cdot10^{-12}\ \text{Ф}. \]
Так как \(1\ \text{пФ}=10^{-12}\ \text{Ф}\), получаем: \[ C=2\ \text{пФ}. \]
Проверка: \(I_m/U_m=\sqrt{C/L}\), то есть \(0{,}04/200=2\cdot10^{-4}\), и \(C/L=(2\cdot10^{-4})^2\), откуда снова \(C=2\) пФ.
Чему равен период электромагнитных колебаний в контуре, состоящем из катушки длиной 15 см, площадью сечения 3 см2, имеющей 1000 витков, и конденсатора с площадью пластин 10 см2 и расстоянием между пластинами 5 мм? Вся цепь находится в воздухе. Ответ округли до целых нс.
Ответ: примерно \(419\) нс.
Индуктивность катушки (воздушный сердечник, соленоид): \[ L=\mu_0\frac{N^2S}{l}. \] Подставляем: \[ S=3\ \text{см}^2=3\cdot10^{-4}\ \text{м}^2,\quad l=0{,}15\ \text{м},\quad N=1000: \] \[ L\approx4\pi\cdot10^{-7}\cdot \frac{1000^2\cdot3\cdot10^{-4}}{0{,}15} \approx2{,}51\cdot10^{-3}\ \text{Гн}. \]
Ёмкость конденсатора: \[ C=\varepsilon_0\frac{S_{\text{пл}}}{d}, \] где \[ S_{\text{пл}}=10\ \text{см}^2=10^{-3}\ \text{м}^2,\quad d=5\ \text{мм}=5\cdot10^{-3}\ \text{м}. \] Тогда \[ C\approx8{,}85\cdot10^{-12}\cdot \frac{10^{-3}}{5\cdot10^{-3}} \approx1{,}77\cdot10^{-12}\ \text{Ф}. \]
Период электромагнитных колебаний: \[ T=2\pi\sqrt{LC}. \] \[ T\approx2\pi\sqrt{(2{,}51\cdot10^{-3})(1{,}77\cdot10^{-12})} \approx4{,}19\cdot10^{-7}\ \text{с}. \]
Переводим в наносекунды: \[ T\approx419\ \text{нс}. \]
Ответ: \(419\) нс (в идеализированной модели без краевых эффектов и потерь).
неправильно
Я пересчитал. Формулы верные, расхождение только в округлении:
\[ L=\mu_0\frac{N^2S_1}{l} \approx 4\pi\cdot10^{-7}\cdot \frac{1000^2\cdot 3\cdot10^{-4}}{0{,}15} \approx 2{,}51\cdot10^{-3}\ \text{Гн}, \]
\[ C=\varepsilon_0\frac{S_2}{d} \approx 8{,}85\cdot10^{-12}\cdot \frac{10^{-3}}{5\cdot10^{-3}} \approx 1{,}77\cdot10^{-12}\ \text{Ф}. \]
Тогда \[ T=2\pi\sqrt{LC} \approx 4{,}19\cdot10^{-7}\ \text{с} =419\ \text{нс}. \]
Более точное значение — около \(419{,}2\) нс. Если в ответе задачи стоит \(420\) нс, это получается из промежуточного округления \(T\approx0{,}42\) мкс. При строгом округлении до целых наносекунд — \(419\) нс.
Скажи, какой ответ указан в ключе — \(419\) или \(420\), — тогда я точно покажу, на каком шаге возникает расхождение.
При какой циклической частоте переменного тока наступит резонанс напряжений в замкнутой цепи, состоящей из катушки с индуктивностью 0,5 Гн и конденсатора ёмкостью 200 мкФ?
