В кубе ABCDA1B1C1D1 укажи взаимное расположение прямых AA1 и DC и восстанови пропущенные этапы доказательства.

Question

Реши задание на изображении

Расшифровка фото нейросетью:
[Рисунок: куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$; $ABCD$ — нижняя грань, $A_1B_1C_1D_1$ — верхняя грань; отмечены вершины $A, B, C, D, A_1, B_1, C_1, D_1$.]

В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ укажи взаимное расположение прямых $AA_1$ и $DC$ и восстанови пропущенные этапы доказательства.

Выбери верные варианты из списков.

Прямые $AA_1$ и $DC$ ___, так как $DC$ ___ $(ABC)$, $AA_1$ ___ $(ABC) = A$ и $A$ ___ $DC$.

Answer

Краткий ответ: прямые $AA_1$ и $DC$ — скрещивающиеся.

Как заполнить пропуски:

Прямые $AA_1$ и $DC$ скрещиваются, так как $DC$ лежит в плоскости $(ABC)$, $AA_1$ пересекает $(ABC)$ в точке $A$, и $A$ не принадлежит $DC$.

Если в списках даны обозначения, то:
$$
DC\subset(ABC),\qquad AA_1\cap(ABC)=A,\qquad A\notin DC.
$$

Почему это работает. Используется признак скрещивающихся прямых: если одна прямая лежит в плоскости, а другая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то прямые скрещиваются.

$DC$ целиком лежит в основании $(ABC)$.

Ребро $AA_1$ пересекает основание только в точке $A$.

Точка $A$ не лежит на прямой $DC$.

Значит, у $AA_1$ и $DC$ нет общей точки, и они не параллельны — это скрещивающиеся прямые.

Проверка: если бы они пересекались, точка пересечения должна была бы быть $A$, но $A\notin DC$. Угол между их направлениями при этом равен $90^\circ$, поскольку $AA_1\perp(ABC)$, но сами прямые всё равно скрещиваются.