Докажите что если фигура имеет 2 взаимно перпендиеулярные оси симметри то точка их пересечения является центром симметрии фигкры
Кратко: да. Две осевые симметрии относительно перпендикулярных осей вместе дают поворот на \(180^\circ\) вокруг точки их пересечения, а поворот на \(180^\circ\) — это центральная симметрия.
Доказательство
Пусть оси симметрии — прямые \(l\) и \(m\), а \(O\) — точка их пересечения. Возьмём любую точку \(A\) фигуры.
- Так как \(l\) — ось симметрии, отражение точки \(A\) относительно \(l\) даёт точку \(B\), которая тоже принадлежит фигуре.
- Так как \(m\) — ось симметрии, отражение точки \(B\) относительно \(m\) даёт точку \(C\), которая также принадлежит фигуре.
- Направим оси координат вдоль \(l\) и \(m\), а начало координат поместим в \(O\). Если \[ A=(x;y), \] то отражение относительно \(l\) даёт \[ B=(x;-y), \] а отражение \(B\) относительно \(m\) даёт \[ C=(-x;-y). \]
- Точки \(A=(x;y)\) и \(C=(-x;-y)\) симметричны относительно начала координат \(O\): точка \(O\) является серединой отрезка \(AC\).
Значит, для каждой точки \(A\) фигуры найдётся принадлежащая фигуре точка \(C\), симметричная ей относительно \(O\). Поэтому \(O\) — центр симметрии фигуры.
Вывод: последовательное отражение относительно двух перпендикулярных осей равносильно повороту на \(180^\circ\) вокруг точки их пересечения. Именно этот поворот и есть центральная симметрия.
Обсуждение
5 сообщенийФотография есть
Я не вижу фотографии в сообщении — она не прикрепилась. Пришлите её ещё раз, пожалуйста: посмотрю условие и сверю с доказательством, которое мы уже разобрали.
Как писать в тетради
Вот как можно оформить это в тетради — коротко и по шагам.
Дано: фигура \(F\) имеет две оси симметрии \(l\) и \(m\), причём \(l \perp m\); \(O = l \cap m\).
Доказать: \(O\) — центр симметрии фигуры \(F\).
Доказательство:
Введём систему координат с началом в точке \(O\), направив оси вдоль прямых \(l\) и \(m\) (они перпендикулярны, значит, подходят как оси координат).
Пусть \(A(x;y)\) — произвольная точка фигуры \(F\).
Так как \(l\) — ось симметрии, то точка \(B\), симметричная \(A\) относительно \(l\), тоже принадлежит \(F\). При симметрии относительно оси \(Ox\) меняется знак ординаты: \[ B(x;-y) \in F. \]
Так как \(m\) — ось симметрии, то точка \(C\), симметричная \(B\) относительно \(m\), тоже принадлежит \(F\). При симметрии относительно оси \(Oy\) меняется знак абсциссы: \[ C(-x;-y) \in F. \]
Точки \(A(x;y)\) и \(C(-x;-y)\) симметричны относительно начала координат \(O\), так как \(O\) — середина отрезка \(AC\).
Значит, для каждой точки \(A\) фигуры \(F\) в \(F\) найдётся симметричная ей относительно \(O\) точка \(C\). Следовательно, \(O\) — центр симметрии фигуры \(F\).
Ч. т. д.
Что стоит запомнить для ответа у доски: отражение относительно \(l\), затем относительно \(m\) — это поворот на \(180^\circ\) вокруг \(O\), а поворот на \(180^\circ\) и есть центральная симметрия.
Решить заданию 544
