2.111
Сверь числа и знаки с фото.
2.111 Сколько трёхзначных чисел можно составить из цифр 1, 3, 5, 7, 9, если цифры не повторяются?
Ответ: 60 чисел.
Выбираем цифры по разрядам:
- на место сотен можно поставить любую из 5 цифр: \(1,3,5,7,9\);
- после этого для десятков остаётся 4 варианта;
- для единиц — 3 варианта.
Поэтому: \[ 5\cdot4\cdot3=60 \]
Это размещения без повторений: \[ A_5^3=\frac{5!}{(5-3)!}=60. \]
Порядок важен: например, \(135\) и \(315\) — разные числа. Нуля среди цифр нет, поэтому все выбранные тройки дают трёхзначные числа.
Обсуждение
2 сообщенияМожно очень объяснить
Разберём очень подробно.
Нужно составить трёхзначные числа из цифр
\[ 1,\ 3,\ 5,\ 7,\ 9 \]
причём цифры не должны повторяться.
У трёхзначного числа есть три места:
- сотни;
- десятки;
- единицы.
1. Выбираем цифру сотен
На первое место можно поставить любую из пяти цифр:
\[ 1,\ 3,\ 5,\ 7,\ 9 \]
Значит, для сотен есть 5 вариантов.
Нуля среди этих цифр нет, поэтому любая выбранная цифра действительно даст трёхзначное число.
2. Выбираем цифру десятков
Одну цифру мы уже заняли. Повторять её нельзя, поэтому остаётся 4 варианта.
Например, если на месте сотен стоит \(1\), то для десятков можно взять:
\[ 3,\ 5,\ 7,\ 9 \]
3. Выбираем цифру единиц
Теперь заняты уже две цифры, значит для единиц остаётся 3 варианта.
4. Перемножаем варианты
Для каждого выбора сотен есть 4 выбора десятков и 3 выбора единиц:
\[ 5\cdot 4\cdot 3=60 \]
Ответ: 60 трёхзначных чисел.
Можно проверить и так. Пусть первая цифра — \(1\). Тогда для десятков есть 4 варианта, а для единиц — 3. Получается:
\[ 4\cdot 3=12 \]
чисел, начинающихся с цифры \(1\). Например:
\[ 135,\ 137,\ 139,\ 153,\ 157,\ldots \]
Таких же групп по 12 чисел будет для каждой из пяти первых цифр:
\[ 5\cdot 12=60 \]
Типичная ошибка — считать так:
\[ 5\cdot 5\cdot 5=125 \]
Но это было бы верно, если бы цифры разрешалось повторять. У нас повторять нельзя, поэтому вариантов меньше.
