Определи взаимное расположение прямых, исходя из следующего условия. Точка M не лежит в плоскости треугольника ABC. Точки S, T и Q — середины отрезков AM, BM и CM соответственно.
Реши задание на изображении
Сверь числа и знаки с фото.
Упражнение 5 из 51
Определи взаимное расположение прямых, исходя из следующего условия. Точка M не лежит в плоскости треугольника ABC. Точки S, T и Q — середины отрезков AM, BM и CM соответственно. Выбери верный вариант из списка.
MT и BC ___ . MQ и AB ___ . TQ и BC ___ . ST и MQ ___ .
В открытом списке вариантов: параллельны; пересекаются; скрещиваются.
Краткий ответ:
| Пара прямых | Взаимное расположение |
|---|---|
| \(MT\) и \(BC\) | пересекаются |
| \(MQ\) и \(AB\) | скрещиваются |
| \(TQ\) и \(BC\) | параллельны |
| \(ST\) и \(MQ\) | скрещиваются |
В последнем пункте вариант «параллельны» не подходит: правильный ответ — «скрещиваются».
Ключевые шаги:
\(T\) — середина \(BM\), поэтому \(M,T,B\) лежат на одной прямой. Значит, \(MT\) — это прямая \(MB\). Она проходит через \(B\), а \(BC\) тоже проходит через \(B\).
Следовательно, \(MT\) и \(BC\) пересекаются в точке \(B\).\(Q\) — середина \(CM\), поэтому \(MQ\) — это прямая \(MC\). Прямая \(MC\) пересекает плоскость \(ABC\) только в точке \(C\), а \(C\) не лежит на \(AB\). Общих точек у \(MQ\) и \(AB\) нет. Параллельными они быть не могут, иначе \(M\) лежала бы в плоскости \(ABC\).
Значит, \(MQ\) и \(AB\) скрещиваются.В треугольнике \(MBC\) точки \(T\) и \(Q\) — середины сторон \(MB\) и \(MC\). По теореме о средней линии: \[ TQ \parallel BC. \] Поэтому \(TQ\) и \(BC\) параллельны.
В треугольнике \(MAB\) точки \(S\) и \(T\) — середины \(MA\) и \(MB\), значит, \[ ST \parallel AB. \] Прямая \(ST\) лежит в плоскости \(MAB\). Прямая \(MQ=MC\) пересекает эту плоскость только в точке \(M\), а \(M\) не лежит на \(ST\). Значит, \(ST\) и \(MQ\) не пересекаются. Параллельными они тоже не являются, так как \(ST\parallel AB\), а \(MC\) не параллельна \(AB\).
Следовательно, \(ST\) и \(MQ\) скрещиваются.
