по шагам решить номер 3.180
Сверь числа и знаки с фото.
3.180 Запишите выражение: а) сумма \(4t - 8\) и \(103 - 7s\); б) разность \(3a + 12\) и \(15 - 4b\); в) произведение \(3y - 22\) и \(5x\); г) частное \(7z + 4\) и \(z - 6\).
Кратко
а) \((4t-8)+(103-7s)=4t-7s+95\);
б) \((3a+12)-(15-4b)=3a+4b-3\);
в) \((3y-22)\cdot 5x=15xy-110x\);
г) \(\dfrac{7z+4}{z-6}\), причём \(z\ne6\).
По шагам
Сумма — складываем целые выражения: \[ (4t-8)+(103-7s)=4t-8+103-7s=4t-7s+95. \] \(4t\) и \(-7s\) не складываем: это разные переменные.
Разность — из первого выражения вычитаем второе, поэтому второе обязательно берём в скобки: \[ (3a+12)-(15-4b)=3a+12-15+4b=3a+4b-3. \] Минус перед скобкой меняет знаки: \(15-4b\) превращается в \(-15+4b\).
Произведение — умножаем \(5x\) на каждый член первой скобки: \[ (3y-22)\cdot 5x=3y\cdot5x-22\cdot5x=15xy-110x. \]
Частное — это деление: \[ \frac{7z+4}{z-6}. \] Знаменатель не должен быть равен нулю, поэтому \(z\ne6\).
Проверка пункта б) при \(a=1,\ b=1\): \[ (3+12)-(15-4)=15-11=4, \] \[ 3\cdot1+4\cdot1-3=4. \] Результаты совпали — знаки раскрыты верно.
Обсуждение
2 сообщенияПочему минус перед скобкой меняет все знаки?
Коротко: минус перед скобкой — это умножение всей скобки на \(-1\). А при умножении на число каждый член скобки умножается на него:
\[ -(15-4b)=(-1)\cdot(15-4b)=(-1)\cdot15+(-1)\cdot(-4b)=-15+4b. \]
Почему это логично
Скобка — это одно число, «упаковка». Например, \(15-4b\) при \(b=1\) равно \(11\). Если мы вычитаем всю упаковку, то вычитаем и \(15\), и «долг» \(4b\):
\[ 20-(15-4)=20-11=9. \]
А если поменять знак только у первого числа:
\[ 20-15-4=1, \]
получается неверно. Значит, знаки должны поменяться у каждого слагаемого:
\[ 20-15+4=9. \]
Другой взгляд: вычитание = прибавление противоположного
\[ X-(15-4b)=X+\bigl(-(15-4b)\bigr)=X+(-15+4b). \]
Противоположное к \(15\) — это \(-15\), противоположное к \(-4b\) — это \(+4b\).
Сравни с плюсом:
\[ X+(15-4b)=X+15-4b \]
— здесь знаки не меняются, потому что умножение на \(+1\) ничего не переворачивает.
Поэтому в пункте б): \[ (3a+12)-(15-4b)=3a+12-15+4b=3a+4b-3. \]
