При какой циклической частоте переменного тока наступит резонанс напряжений в замкнутой цепи, состоящей из катушки с индуктивностью 0,5 Гн и конденсатора ёмкостью 200 мкФ?

Краткий ответ: резонанс напряжений наступит при циклической частоте

\[ \omega_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}=100\ \text{рад/с}. \]

Это соответствует обычной частоте \(f_0\approx 15{,}9\) Гц.

Как это получить

При резонансе напряжений индуктивное и ёмкостное сопротивления равны:

\[ X_L=X_C. \]

Поскольку

\[ X_L=\omega L,\qquad X_C=\frac{1}{\omega C}, \]

получаем:

\[ \omega L=\frac{1}{\omega C}. \]

Отсюда

\[ \omega^2=\frac{1}{LC}, \qquad \omega_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}. \]

Подставляем данные:

\[ L=0{,}5\ \text{Гн},\qquad C=200\ \text{мкФ}=200\cdot10^{-6}\ \text{Ф}=2\cdot10^{-4}\ \text{Ф}. \]

\[ LC=0{,}5\cdot2\cdot10^{-4}=10^{-4}\ \text{Гн}\cdot\text{Ф}, \]

\[ \omega_0=\frac{1}{\sqrt{10^{-4}}}=\frac{1}{10^{-2}}=100\ \text{рад/с}. \]

Проверка: единица \(LC\) — \(\text{Гн}\cdot\text{Ф}=\text{с}^2\), поэтому \(\frac{1}{\sqrt{LC}}\) действительно имеет размерность \(\text{с}^{-1}\), то есть рад/с.

Ответ: \(\omega_0=100\ \text{рад/с}\) (примерно \(16\) Гц).