Простейший колебательный контур состоит из катушки индуктивностью 4 Гн и конденсатора. Чему равна циклическая частота электромагнитных колебаний в рад/с, если амплитуда колебаний…
Простейший колебательный контур состоит из катушки индуктивностью 4 Гн и конденсатора. Чему равна циклическая частота электромагнитных колебаний в рад/с, если амплитуда колебаний силы тока 0,06 А, а амплитуда колебаний напряжения 12 В?
Ответ: \(\omega=50\ \text{рад/с}\).
В идеальном колебательном контуре энергия переходит из магнитного поля катушки в электрическое поле конденсатора без потерь. Поэтому maximal magnetic energy equals maximal electric energy:
\[ \frac{L I_m^2}{2}=\frac{C U_m^2}{2}. \]
Отсюда можно найти электроёмкость:
\[ C=L\frac{I_m^2}{U_m^2}. \]
Циклическая частота контура:
\[ \omega=\frac{1}{\sqrt{LC}}. \]
Подставим \(C\):
\[ \omega=\frac{1}{\sqrt{L\cdot L I_m^2/U_m^2}} =\frac{U_m}{L I_m}. \]
Теперь подставляем числа:
\[ \omega=\frac{12}{4\cdot 0{,}06} =\frac{12}{0{,}24}=50\ \text{рад/с}. \]
Проверка: амплитуда напряжения должна быть
\[ U_m=\omega L I_m=50\cdot 4\cdot 0{,}06=12\ \text{В}, \]
что совпадает с условием.
Обсуждение
15 сообщенийВ двух идеальных колебательных контурах происходят незатухающие электромагнитные колебания. Максимальное значение заряда конденсатора в первом контуре равно 10 нКл. Амплитуда колебаний силы тока во втором контуре в 5 раз больше, а период его колебаний в 2 раза меньше, чем в первом контуре
В условии не сформулирован вопрос. Что нужно найти — максимальный заряд конденсатора во втором контуре?
Определи максимальное значение заряда конденсатора во втором контуре в нКл.
Ответ: \(q_{\max 2}=25\ \text{нКл}\).
В колебательном контуре амплитуда тока связана с амплитудой заряда:
\[ I_{\max}=\omega q_{\max}, \qquad \omega=\frac{2\pi}{T}. \]
Значит,
\[ q_{\max}=\frac{I_{\max}T}{2\pi}. \]
Отношение зарядов:
\[ \frac{q_{\max 2}}{q_{\max 1}} =\frac{I_{\max 2}T_2}{I_{\max 1}T_1} =5\cdot\frac12=2{,}5. \]
Тогда
\[ q_{\max 2}=2{,}5\cdot 10=25\ \text{нКл}. \]
Проверка: ток во втором контуре больше в \(5\) раз, а период меньше в \(2\) раза; при \(q_{\max}=I_{\max}T/(2\pi)\) это даёт увеличение заряда в \(2{,}5\) раза.
Существует ли резонанс в электрических цепях?
Да, существует — и это одно из важнейших явлений в электротехнике. Резонанс в электрической цепи — это резкое возрастание амплитуды колебаний (тока или напряжения) при совпадении частоты внешнего источника с собственной частотой контура:
\[ \omega_{\text{рез}}=\frac{1}{\sqrt{LC}}, \qquad \nu_{\text{рез}}=\frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}. \]
Два основных вида
1. Резонанс напряжений — в последовательном \(RLC\)-контуре. При \(\omega=\omega_{\text{рез}}\) inductive и capacitive resistances равны по модулю, но противоположны по фазе:
\[ X_L = X_C \;\Rightarrow\; \omega L=\frac{1}{\omega C}. \]
Они компенсируют друг друга, полное сопротивление становится минимальным (\(Z=R\)), а ток — максимальным. При этом напряжения на катушке и конденсаторе могут во много раз превышать напряжение источника:
\[ U_L = U_C = Q\,U_{\text{ист}}, \]
где \(Q\) — добротность контура.
2. Резонанс токов — в параллельном контуре. Здесь наоборот: ток в неразветвлённой части цепи минимален, а токи в ветвях с катушкой и конденсатором велики и текут в противофазе.
Что важно понять
- Резонанс возможен только потому, что в цепи есть реактивные элементы обоих типов — индуктивность и ёмкость. Одно лишь сопротивление \(R\) резонанса не даёт.
- Чем меньше активное сопротивление (выше добротность \(Q\)), тем острее и выше пик.
- В идеальном контуре (\(R=0\)) амплитуда при резонансе формально неограниченна — это и есть наш случай незатухающих колебаний.
Где это встречается
| Применение | Как используется резонанс |
|---|---|
| Радиоприёмник | настройка контура на частоту нужной станции |
| Фильтры, передатчики | выделение или подавление частот |
| Индукционная плавка | сильные токи в контуре |
| Трансформаторы, ЛЭП | опасность: перенапряжения, пробой изоляции |
Именно поэтому в цепях с большой индуктивностью (например, при отключении двигателя) ставят защиту: резонансный выброс напряжения способен разрушить изоляцию.
В однородном магнитном поле B находится проводящая рамка площадью S и сопротивлением R, вращающаяся с угловой скоростью ω. Чему равна максимальная ЭДС индукции в рамке?(формула)
Ответ:
\[ \mathcal{E}_{\max}=BS\omega \]
(если рамка содержит \(N\) витков, то \(\mathcal{E}_{\max}=NBS\omega\)).
Откуда это берётся
Магнитный поток через рамку при равномерном вращении меняется по закону
\[ \Phi=BS\cos\omega t . \]
По закону электромагнитной индукции
\[ \mathcal{E}=-\frac{d\Phi}{dt}=BS\omega\sin\omega t . \]
Максимум модуля синуса равен 1, поэтому
\[ \mathcal{E}_{\max}=BS\omega . \]
Про сопротивление \(R\)
Сопротивление не входит в формулу ЭДС: оно не влияет на величину наведённой ЭДС, а определяет только силу индукционного тока:
\[ I_{\max}=\frac{\mathcal{E}_{\max}}{R}=\frac{BS\omega}{R}. \]
Поэтому \(R\) в условии — «лишние» данные, нужные лишь для нахождения тока.
Проверка единиц
\[ [\text{Тл}]\cdot[\text{м}^2]\cdot[\text{с}^{-1}] =\frac{\text{В}\cdot\text{с}}{\text{м}^2}\cdot\text{м}^2\cdot\frac{1}{\text{с}} =\text{В}. \]
Всё сходится.
У школьника есть два конденсатора: C1=40пФ и C2=60пФ, а ещё две катушки индуктивности: L1=200нГн и L2=500нГн. Он составляет колебательный контур из одного конденсатора и одной катушки так, что получает наибольшую собственную частоту колебаний из всех возможных вариантов. Какой конденсатор и какую катушку использовал школьник?
Он использовал конденсатор \(C_1=40\ \text{пФ}\) и катушку \(L_1=200\ \text{нГн}\).
Собственная частота контура:
\[ \omega=\frac{1}{\sqrt{LC}}, \qquad \nu=\frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}. \]
Чтобы частота была наибольшей, произведение \(LC\) должно быть наименьшим. Сравним варианты:
\[ \begin{aligned} C_1L_1 &= 40\cdot 200=8000,\\ C_1L_2 &= 40\cdot 500=20000,\\ C_2L_1 &= 60\cdot 200=12000,\\ C_2L_2 &= 60\cdot 500=30000. \end{aligned} \]
Наименьшее произведение — у \(C_1\) и \(L_1\), значит, именно эта пара даёт максимальную частоту.
Дополнительно её можно найти:
\[ \nu=\frac{1}{2\pi\sqrt{40\cdot10^{-12}\cdot200\cdot10^{-9}}} \approx 1{,}78\cdot10^{6}\ \text{Гц} \approx 1{,}78\ \text{МГц}. \]
Зависимость напряжения на конденсаторе ёмкостью 50 мкФ описывается уравнением U=50sin(200t). Чему равна максимальная сила тока в контуре?
Ответ: \(I_{\max}=0{,}5\ \text{А}\).
Заряд конденсатора:
\[ q=CU. \]
Сила тока в контуре равна скорости изменения заряда:
\[ i=\frac{dq}{dt}=C\frac{dU}{dt}. \]
Подставим \(U=50\sin(200t)\):
\[ i=C\cdot 50\cdot 200\cos(200t). \]
Отсюда максимальная сила тока:
\[ I_{\max}=CU_{\max}\omega. \]
Численно, где \(C=50\ \text{мкФ}=50\cdot10^{-6}\ \text{Ф}\), \(U_{\max}=50\ \text{В}\), \(\omega=200\ \text{рад/с}\):
\[ I_{\max}=50\cdot10^{-6}\cdot 50\cdot 200=0{,}5\ \text{А}. \]
Проверка единиц:
\[ \text{Ф}\cdot\text{В}\cdot\text{с}^{-1} =\text{Кл}\cdot\text{с}^{-1} =\text{А}. \]
Значит, максимальная сила тока равна 0,5 А.
Чему равна амплитуда заряда в контуре, если в момент времени t заряд конденсатора равен 5⋅10**(−9)Кл, сила тока в катушке равна 50 мА, а период колебаний 8 мкс? Ответ округли до десятых и вырази в 10**(−8)Кл.
Ответ: \(Q_{\max}\approx 6{,}4\cdot10^{-8}\ \text{Кл}\), то есть 6,4 в единицах \(10^{-8}\ \text{Кл}\).
При гармонических колебаниях заряд и сила тока в контуре связаны соотношением:
\[ Q_{\max}^2=q^2+\left(\frac{i}{\omega}\right)^2. \]
Циклическая частота:
\[ \omega=\frac{2\pi}{T} =\frac{2\pi}{8\cdot10^{-6}} \approx 7{,}85\cdot10^5\ \text{рад/с}. \]
Тогда
\[ \frac{i}{\omega} =\frac{0{,}05}{7{,}85\cdot10^5} \approx 6{,}37\cdot10^{-8}\ \text{Кл}. \]
Подставляем \(q=5\cdot10^{-9}\ \text{Кл}\):
\[ Q_{\max} =\sqrt{(5\cdot10^{-9})^2+(6{,}37\cdot10^{-8})^2} \approx 6{,}4\cdot10^{-8}\ \text{Кл}. \]
Проверка: при найденной амплитуде \(I_{\max}=\omega Q_{\max}\approx 7{,}85\cdot10^5\cdot6{,}4\cdot10^{-8}\approx0{,}05\ \text{А}\), что соответствует заданным \(50\ \text{мА}\).
Школьник собрал колебательный контур из конденсатора с электроемкостью 100 мкФ и катушки с индуктивностью 4 Гн. Определи циклическую частоту свободных электромагнитных колебаний контура.
