Четыре прямые пересекаются в точках A, B, C и D, как показано на рисунке. Прямые m и n пересекаются. Могут ли прямые p и k быть...

Question

Реши задание на изображении

Расшифровка фото нейросетью:
[Рисунок: прямые $m$ и $n$ расположены почти вертикально; на $m$ сверху вниз отмечены точки $A$ и $C$, на $n$ — точки $B$ и $D$. Через $A$ и $B$ проходит прямая $p$, через $C$ и $D$ — прямая $k$.]
Ответь на вопросы, выбрав верные варианты ответа из списка.
Четыре прямые пересекаются в точках $A$, $B$, $C$ и $D$, как показано на рисунке. Прямые $m$ и $n$ пересекаются. Могут ли прямые $p$ и $k$ быть...
пересекающимися? ___
скрещивающимися? ___
параллельными? ___

Answer

Краткий ответ:

пересекающимися? — да;

скрещивающимися? — нет;

параллельными? — да.

Почему так:

1. Пересекающиеся прямые $m$ и $n$ задают плоскость $\alpha$: через две пересекающиеся прямые проходит ровно одна плоскость.

2. Точки $A$ и $C$ лежат на $m$, а $B$ и $D$ — на $n$, значит все четыре точки лежат в плоскости $\alpha$.

3. Поэтому прямые $p=AB$ и $k=CD$ тоже целиком лежат в $\alpha$.

4. Скрещивающиеся прямые по определению не лежат в одной плоскости. Здесь обе прямые $p$ и $k$ в одной плоскости, поэтому скрещивающимися они быть не могут.

5. В плоскости две различные прямые могут либо пересекаться, либо быть параллельными. Оба случая возможны: при равенстве отношений отрезков от точки $O=m\cap n$ прямые $p$ и $k$ параллельны, при другом отношении — пересекаются.

Проверка: ответ «да — нет — да» соответствует тому, что $p$ и $k$ компланарны, но не обязаны быть параллельными.