геометрия 8 класс номер 500 автор атанасян

Question

Расшифровка фото нейросетью:
500. Постройте равнобедренную трапецию ABCD:
а) по основанию AD, углу A и боковой стороне AB;
б) по основанию BC, боковой стороне AB и диагонали BD.

Answer

Коротко: у равнобедренной трапеции $ABCD$ с основаниями $AD\parallel BC$ боковые стороны равны: $AB=CD$. Поэтому в обоих пунктах строим известный треугольник, а затем проводим прямую, параллельную основанию, и делаем засечку радиусом $AB$.

а) Дано: $AD$, $\angle A$, $AB$.

1. На прямой отложите $AD$.

2. От луча $AD$ постройте угол, равный $\angle A$, и на его стороне отложите $AB$. Получите точку $B$.

3. Через $B$ проведите прямую $m\parallel AD$.

4. Из точки $D$ радиусом $AB$ сделайте засечку на прямой $m$ — получите $C$. Из двух пересечений выберите то, при котором получается выпуклая трапеция, а не параллелограмм.

5. Соедините $B$ с $C$ и $C$ с $D$.

Почему это работает: $BC\parallel AD$ по построению, а $CD=AB$ — по радиусу окружности. Значит, $ABCD$ — равнобедренная трапеция, причём $AD$, $\angle A$ и $AB$ взяты такими, как в условии.

б) Дано: $BC$, $AB$, $BD$.

1. Постройте треугольник $BCD$ по трём сторонам:
$$
BC,\quad CD=AB,\quad BD.
$$
То есть из $B$ проведите окружность радиуса $BD$, из $C$ — радиуса $AB$; их пересечение даст $D$.

2. Через $D$ проведите прямую $m\parallel BC$.

3. Из точки $B$ радиусом $AB$ сделайте засечку на прямой $m$ — получите $A$. Снова выберите то положение, при котором $ABCD$ — выпуклая трапеция, а не параллелограмм.

4. Соедините $A$ с $B$.

Почему это работает: $AD\parallel BC$ по построению, а $AB=CD$ — из построения треугольника. Диагональ $BD$ и основание $BC$ сохраняются. Значит, $ABCD$ — искомая равнобедренная трапеция.

Проверка: на готовом чертеже должно быть $AD\parallel BC$ и $AB=CD$. В пункте а) дополнительно проверяем $\angle DAB=\angle A$; в пункте б) — что $BC$ и $BD$ остались заданными.