В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ найди градусную меру угла между прямыми A₁D₁ и DC.

Ответ: \(90^\circ\) — подходит последний вариант.

Ход рассуждения

1. По определению угол между скрещивающимися прямыми — это угол между двумя пересекающимися прямыми, параллельными данным. Поэтому одну из прямых можно заменить параллельной ей.
2. В кубе \(A_1D_1 \parallel AD\): это противоположные стороны квадрата \(AA_1D_1D\) (передней грани).
3. Значит, искомый угол равен углу между \(AD\) и \(DC\).
4. \(ABCD\) — квадрат (основание куба), его соседние стороны \(AD\) и \(DC\) перпендикулярны, поэтому угол равен \(90^\circ\).

Проверка координатами. Пусть \(A(0;0;0)\), \(D(1;0;0)\), \(C(1;1;0)\), \(A_1(0;0;1)\), \(D_1(1;0;1)\). Тогда \[ \vec{A_1D_1}=(1;0;0),\qquad \vec{DC}=(0;1;0), \] их скалярное произведение равно нулю, значит \(\cos\varphi=0\) и \(\varphi=90^\circ\).

Как действовать в похожих задачах

• Найди прямую, которую удобно заменить параллельной: чаще всего это ребро куба, параллельное данной прямой.
• Сведи всё к плоскому углу в треугольнике: теорема косинусов, теорема Пифагора или признак прямоугольного треугольника.
• Если по чертежу угол «не виден», введи систему координат: \(\cos\varphi=\dfrac{|\vec u\cdot\vec v|}{|\vec u|\,|\vec v|}\). Модуль нужен потому, что угол между прямыми не превышает \(90^\circ\).