Решить заданию 544
Краткий ответ:
\[
S_{ABCD}=S_{ADE}
\]
то есть площади прямоугольника и треугольника равны.
Доказательство
Пусть высота прямоугольника \(AB=h\). Тогда \[ S_{ABCD}=AD\cdot h. \]
Точка \(M\) лежит на \(BC\), а \(BC\parallel AD\). Поэтому расстояние от \(M\) до прямой \(AD\) равно \(h\). Значит площадь треугольника \(ADM\): \[ S_{ADM}=\frac12\cdot AD\cdot h=\frac12 S_{ABCD}. \]
В треугольнике \(ADE\) точка \(M\) — середина стороны \(AE\). Значит, \(DM\) — медиана. Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника: \[ S_{ADM}=S_{DME} \] потому что основания \(AM=ME\), а высота из вершины \(D\) общая.
Следовательно, \[ S_{ADE}=S_{ADM}+S_{DME}=2S_{ADM}. \] Подставляем: \[ S_{ADE}=2\cdot \frac12 S_{ABCD}=S_{ABCD}. \]
Что важно запомнить: медиана делит площадь треугольника пополам, а у точек одной прямой, параллельной основанию, высота к этому основанию одинакова.
Точка \(N\) в самом доказательстве площади не используется — она нужна только для описания конфигурации.
