реши только 2 вариант

Question

Расшифровка фото нейросетью:
Вариант 2

1. В прямоугольной системе координат даны векторы $ \vec a\{-3;2\} $ и $ \vec b\{1;-1\} $. Найдите координаты вектора $ \vec c=2\vec a-\vec b $ и его длину. Постройте вектор $ \vec c $, если известно, что его конец совпадает с точкой $ M(1;4) $.

2. Выясните, принадлежит ли точка $ C(2; \sqrt{5}) $ окружности с центром в точке $ D(7;0) $ и радиусом, равным $ \sqrt{30} $.

3. Докажите, что четырехугольник $ PSQT $, заданный координатами своих вершин $ P(3;0) $, $ S(-1;3) $, $ Q(-4;-1) $, $ T(0;-4) $, является квадратом, и вычислите его площадь.
4*. В равнобедренном треугольнике MNKP основание равно 16 см, а биссектриса, проведенная к основанию, равна 18 см. Найдите медиану, проведенную к боковой стороне.

Answer

Краткий ответ

1. $\vec c=(-7;5)$, $|\vec c|=\sqrt{74}$. Начало вектора — $N(8;-1)$, конец — $M(1;4)$.

2. Да, точка $C$ принадлежит окружности.

3. $PSQT$ — квадрат, его площадь $S=25$.

4. Медиана, проведённая к боковой стороне, равна $15$ см.

Решение

1. Вектор $\vec c$

$$
\vec c=2\vec a-\vec b=2(-3;2)-(1;-1)=(-6;4)-(1;-1)=(-7;5).
$$

Длина:

$$
|\vec c|=\sqrt{(-7)^2+5^2}=\sqrt{49+25}=\sqrt{74}.
$$

Если конец вектора — точка $M(1;4)$, то его начало $N$ находим так:

$$
N=M-\vec c=(1;4)-(-7;5)=(8;-1).
$$

То есть вектор $\vec c$ рисуется стрелкой из $N(8;-1)$ в $M(1;4)$.

2. Принадлежность точки окружности

Расстояние от точки $C(2;\sqrt5)$ до центра $D(7;0)$:

$$
DC^2=(2-7)^2+(\sqrt5-0)^2=25+5=30.
$$

Радиус в квадрате тоже равен $30$, значит $DC=\sqrt{30}$. Точка лежит на окружности.

3. Доказательство для $PSQT$

Найдём векторы сторон:

$$
\overrightarrow{PS}=(-4;3),\quad
\overrightarrow{SQ}=(-3;-4),
$$
$$
\overrightarrow{QT}=(4;-3),\quad
\overrightarrow{TP}=(3;4).
$$

Все длины равны:

$$
|\overrightarrow{PS}|=|\overrightarrow{SQ}|=
|\overrightarrow{QT}|=|\overrightarrow{TP}|=5.
$$

Проверим прямой угол:

$$
\overrightarrow{PS}\cdot\overrightarrow{SQ}
=(-4)(-3)+3(-4)=12-12=0.
$$

Значит, соседние стороны перпендикулярны. Четырёхугольник с равными сторонами и прямым углом — квадрат. Его площадь:

$$
S=5^2=25.
$$

4. Медиана к боковой стороне

В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, является также высотой и медианой.

Пусть основание $AB=16$, а высота к нему $CM=18$. Тогда

$$
AM=MB=8.
$$

Боковая сторона:

$$
AC=BC=\sqrt{8^2+18^2}=\sqrt{64+324}=\sqrt{388}=2\sqrt{97}.
$$

Расположим вершины: $A(-8;0)$, $B(8;0)$, $C(0;18)$. Медиана из $B$ идёт к середине $AC$, то есть к точке $N(-4;9)$. Тогда

$$
BN=\sqrt{(8-(-4))^2+(0-9)^2}
=\sqrt{144+81}=\sqrt{225}=15.
$$

Ответ: $15$ см.

реши только 2 вариант

Краткий ответ

Решение

1. Вектор \(\vec c\)

2. Принадлежность точки окружности

3. Доказательство для \(PSQT\)

4. Медиана к боковой стороне