Ромб ABCD с диагоналями, равными 6 и 8 перегнули вдоль меньшей диагонали BD так, что ∠AOC (O — точка пересечения диагоналей ромба) оказался равным 60°. Найди косинус угла

Краткий ответ: \(\frac{17}{25}\) — третий вариант.

Ключевая идея: при сгибе вдоль \(BD\) точки \(A\) и \(C\) сохраняют расстояния до \(D\), поскольку \(D\) лежит на оси сгиба.

1. Диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам. Меньшая диагональ \(BD=6\), значит \[ BO=OD=3. \] Вторая диагональ \(AC=8\), значит \[ AO=OC=4. \] Сторона ромба: \[ AD=CD=\sqrt{3^2+4^2}=5. \]

2. После сгиба \(\angle AOC=60^\circ\), причём \(OA=OC=4\). Поэтому треугольник \(AOC\) равносторонний, то есть \[ AC=4. \] Это можно проверить по теореме косинусов: \[ AC^2=4^2+4^2-2\cdot4\cdot4\cdot\cos60^\circ=16. \]

3. В треугольнике \(ACD\) стороны \(AD=CD=5\), \(AC=4\). Угол между прямыми \(AD\) и \(CD\) — это угол при вершине \(D\). По теореме косинусов: \[ \cos\angle ADC=\frac{AD^2+CD^2-AC^2}{2\cdot AD\cdot CD} =\frac{25+25-16}{2\cdot5\cdot5} =\frac{34}{50} =\frac{17}{25}. \]

Проверка: \(\cos\angle ADC>0\), значит угол острый, как и должен быть угол между прямыми.