Ромб ABCD с диагоналями, равными 24 и 10 перегнули вдоль меньшей диагонали BD так, что ∠AOC (O — точка пересечения диагоналей ромба) оказался равным 60°.

Краткий ответ: \(\boxed{\dfrac{97}{169}}\) — второй вариант.

Как понять решение

1. Диагонали ромба перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам. Меньшая диагональ \(BD=10\), значит \[ OD=OB=5. \] Вторая диагональ \(AC=24\), поэтому \[ OA=OC=12. \] Тогда сторона ромба: \[ AD=CD=\sqrt{5^2+12^2}=13. \]

2. Введём координаты. Пусть \(O=(0,0,0)\), диагональ \(BD\) идёт вдоль оси \(x\): \[ D=(5,0,0),\qquad C=(0,12,0). \]

После перегиба точка \(A\) занимает новое положение, но \(OA=12\). Угол \(\angle AOC=60^\circ\), а \(OC\) направлена по оси \(y\). Поэтому проекция \(OA\) на \(OC\) равна \[ 12\cos 60^\circ=6. \] Значит можно взять \[ A=(0,6,6\sqrt3). \]

3. Найдём векторы: \[ \overrightarrow{DC}=(-5,12,0), \] \[ \overrightarrow{DA}=(-5,6,6\sqrt3). \] Их скалярное произведение: \[ \overrightarrow{DC}\cdot\overrightarrow{DA} =(-5)(-5)+12\cdot6+0=25+72=97. \] Оба вектора имеют длину \(13\), поэтому \[ \cos\varphi= \frac{97}{13\cdot13} =\frac{97}{169}. \]

Проверка: \(|DA|^2=25+36+108=169\), \(|DC|^2=25+144=169\), значит длины действительно по \(13\).