Вариант 2 1. Найдите координаты и длину вектора b, если b = 1/2 p + q, где p(4; −6; 2), q(−2; 3; −4).

Question

Реши задание на изображении

Расшифровка фото нейросетью:
Вариант 2

1. Найдите координаты и длину вектора $\vec{b}$, если $\vec{b} = \frac{1}{2}\vec{p} + \vec{q}$, где $\vec{p}(4;\ -6;\ 2)$, $\vec{q}(-2;\ 3;\ -4)$.

2. Напишите уравнение окружности с центром в точке $A(1;\ -3)$, проходящей через точку $B(4;\ 1)$.

3. Вершины треугольника $DEF$ заданы координатами: $D(-2;\ 3)$, $E(1;\ 7)$, $F(1;\ -1)$.

а) Докажите, что $\triangle DEF$ — равнобедренный.

б) Найдите высоту, проведённую из вершины $E$.

в*) Найдите координаты точки $N$, лежащей на оси $Ox$ и равноудалённой от точек $M(2;\ 5)$ и $K(-3;\ 1)$.

Answer

Краткие ответы

1. $\vec{b} = (0;\,0;\,-3)$, $\;|\vec{b}| = 3$.

2. $(x-1)^2 + (y+3)^2 = 25$.

3. а) $DE = DF = 5$, значит, треугольник равнобедренный с основанием $EF$;
б) высота из $E$ равна $4{,}8$;
в*) $N(1{,}9;\,0)$.

Как это получается

1. Вектор $\vec{b} = \tfrac{1}{2}\vec{p} + \vec{q}$

Принцип: умножение вектора на число умножает каждую координату, сложение — складывает координаты по порядку.

$$
\tfrac{1}{2}\vec{p} = \left(\tfrac{4}{2};\,\tfrac{-6}{2};\,\tfrac{2}{2}\right) = (2;\,-3;\,1)
$$
$$
\vec{b} = (2-2;\,-3+3;\,1-4) = (0;\,0;\,-3)
$$

Длина — корень из суммы квадратов координат:
$$
|\vec{b}| = \sqrt{0^2+0^2+(-3)^2} = 3
$$

Проверка: вектор направлен вдоль оси $Oz$ вниз, его длина равна модулю координаты $z$, то есть 3. ✔

2. Уравнение окружности

Принцип: окружность с центром $A(x_0;y_0)$ и радиусом $R$ задаётся как $(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2$. Радиус — расстояние от центра до точки окружности:

$$
R = AB = \sqrt{(4-1)^2+(1-(-3))^2} = \sqrt{9+16} = 5
$$

Значит:
$$
(x-1)^2+(y+3)^2 = 25
$$

Обратите внимание на знаки: $y_0 = -3$, поэтому в скобках $(y+3)$.

3. Треугольник $D(-2;3)$, $E(1;7)$, $F(1;-1)$

а) Считаем стороны по формуле расстояния:
$$
DE = \sqrt{3^2+4^2} = 5,\quad DF = \sqrt{3^2+(-4)^2} = 5,\quad EF = \sqrt{0^2+8^2} = 8
$$
Две стороны равны ($DE = DF$), значит, треугольник равнобедренный с основанием $EF$. Ч. т. д.

б) Важно: раз равны $DE$ и $DF$, то высота из вершины $E$ опускается на сторону $DF$, а не на $EF$.

Удобно идти через площадь. Высота из $D$ к вертикальной стороне $EF$ — это расстояние по горизонтали от $x=-2$ до $x=1$:
$$
S = \tfrac{1}{2}\cdot EF\cdot 3 = \tfrac{1}{2}\cdot 8\cdot 3 = 12
$$
С другой стороны, $S = \tfrac{1}{2}\cdot DF\cdot h_E$, поэтому:
$$
h_E = \frac{2S}{DF} = \frac{24}{5} = 4{,}8
$$

Проверка через формулу расстояния от точки до прямой $DF$ (её уравнение $4x+3y-1=0$):
$$
h_E = \frac{|4\cdot1+3\cdot7-1|}{\sqrt{4^2+3^2}} = \frac{24}{5} = 4{,}8 \ ✔
$$

в*) Точка на оси $Ox$ имеет вид $N(x;0)$. Условие «равноудалена» — это равенство расстояний $NM = NK$, возводим в квадрат:
$$
(x-2)^2+5^2 = (x+3)^2+1^2
$$
$$
x^2-4x+4+25 = x^2+6x+9+1
$$
$$
-4x+29 = 6x+10 \;\Rightarrow\; 19 = 10x \;\Rightarrow\; x = 1{,}9
$$
$$
N(1{,}9;\,0)
$$

Проверка: $NM^2 = 0{,}01+25 = 25{,}01$, $NK^2 = 24{,}01+1 = 25{,}01$. ✔

Общая идея для похожих задач: координаты — «по действиям с каждой координатой», длины и расстояния — через теорему Пифагора, а доказательство равнобедренности — через равенство длин сторон.

Вариант 2 1. Найдите координаты и длину вектора b, если b = 1/2 p + q, где p(4; −6; 2), q(−2; 3; −4).

Краткие ответы

Как это получается

Обсуждение

Это та же задача 1

Решение

Уточнение к прошлому ответу