544 На стороне AD прямоугольника ABCD построен треугольник ADE так, что его стороны AE и DE пересекают отрезок BC в точках M и N, причём точка M — середина отрезка AE.

Question

Реши задание на изображении

Расшифровка фото нейросетью:
544 На стороне AD прямоугольника ABCD построен треугольник ADE так, что его стороны AE и DE пересекают отрезок BC в точках M и N, причём точка M — середина отрезка AE. Докажите, что $S_{ABCD}=S_{ADE}$.

545 Найдите площадь квадрата, если его сторона равна: а) 1,2 см; б) $\frac{3}{4}$ дм; в) $3\sqrt{2}$ м.

546 Найдите сторону квадрата, если его площадь равна: а) 16 см²; б) 2,25 дм²; в) 12 м².

547 Площадь квадрата равна 24 см². Выразите площадь этого квадрата: а) в квадратных миллиметрах; б) в квадратных дециметрах.

548 Пусть $a$ и $b$ — смежные стороны прямоугольника, а $S$ — его площадь. Вычислите: а) $S$, если $a=8,5$ см, $b=3,2$ см; б) $S$, если $a=2\sqrt{2}$ см, $b=3$ см; в) $b$, если $a=32$ см, $S=684,8$ см²; г) $a$, если $b=4,5$ см, $S=12,15$ см².

Answer

Кратко для полностью читаемых номеров 544–548:

№ 544: $S_{ABCD}=S_{ADE}$ — доказано.

№ 545: а) $1{,}44$ см²; б) $\frac{9}{16}$ дм² $=0{,}5625$ дм²; в) $18$ м².

№ 546: а) $4$ см; б) $1{,}5$ дм; в) $2\sqrt{3}$ м.

№ 547: а) $2400$ мм²; б) $0{,}24$ дм².

№ 548: а) $27{,}2$ см²; б) $6\sqrt{2}$ см²; в) $21{,}4$ см; г) $2{,}7$ см.

Как это получается

№ 544. Пусть $AB=h$. Так как $AD\parallel BC$, расстояние между этими прямыми равно $h$. Точка $M$ лежит на $BC$, значит, её расстояние до $AD$ тоже $h$. Но $M$ — середина $AE$, поэтому точка $E$ удалена от $AD$ на $2h$. Тогда

$$
S_{ADE}=\frac{1}{2}\cdot AD\cdot 2h=AD\cdot h.
$$

А площадь прямоугольника

$$
S_{ABCD}=AD\cdot AB=AD\cdot h.
$$

Значит, площади равны.

№ 545. Площадь квадрата: $S=a^2$.

$$
1{,}2^2=1{,}44,\qquad \left(\frac34\right)^2=\frac9{16},\qquad (3\sqrt2)^2=18.
$$

№ 546. Сторона квадрата: $a=\sqrt S$.

$$
\sqrt{16}=4,\qquad \sqrt{2{,}25}=1{,}5,\qquad \sqrt{12}=2\sqrt3.
$$

№ 547. $1$ см² $=100$ мм² $=0{,}01$ дм², поэтому

$$
24\text{ см}^2=2400\text{ мм}^2=0{,}24\text{ дм}^2.
$$

№ 548. Для прямоугольника $S=ab$, поэтому $b=\frac{S}{a}$, $a=\frac{S}{b}$.

а) $8{,}5\cdot3{,}2=27{,}2$ см²;

б) $2\sqrt2\cdot3=6\sqrt2$ см²;

в) $684{,}8:32=21{,}4$ см;

г) $12{,}15:4{,}5=2{,}7$ см.

Проверка: $32\cdot21{,}4=684{,}8$ и $4{,}5\cdot2{,}7=12{,}15$.

Главное: у квадрата площадь и сторона связаны обратными действиями $S=a^2$ и $a=\sqrt S$, а у прямоугольника неизвестную сторону находят делением площади на известную сторону.

№ 549 на фото обрезан справа, поэтому его не восстанавливаю по догадке.