В кубе ABCDA1B1C1D1 с ребром 7 см найди квадрат косинуса угла между диагональю куба и пересекающей её диагональю основания. Ответ округли до десятых.

Краткий ответ: \(0{,}7\) (точное значение — \(\frac{2}{3}\)).

Как понять решение

1. Возьмём диагональ куба \(AC_1\) и диагональ основания \(AC\). Они пересекаются в вершине \(A\), значит, нужен угол \(\angle C_1AC\).

2. Ребро \(CC_1\) перпендикулярно плоскости основания, поэтому \(CC_1\perp AC\). Значит, треугольник \(ACC_1\) прямоугольный с прямым углом при \(C\).

3. Если ребро куба равно \(a\), то \[ AC=a\sqrt{2}, \qquad AC_1=a\sqrt{3}. \]

4. В прямоугольном треугольнике \(ACC_1\): \[ \cos \angle C_1AC=\frac{AC}{AC_1} =\frac{a\sqrt{2}}{a\sqrt{3}} =\sqrt{\frac{2}{3}}. \]

5. Тогда квадрат косинуса: \[ \cos^2 \angle C_1AC=\frac{2}{3}\approx 0{,}6667. \]

Округляем до десятых:

\[ \boxed{0{,}7} \]

Длина ребра \(7\) см на угол не влияет: при подстановке она сокращается. В поле ответа: 0,7.