Вариант 12 1) 15/(24(√5)²) 2) √(1/121)+√(16/49) 3) (√7−2)(√7+2) 4) (√5−√2)² 5) 0,2√0,25−1/6·√144 6) 10√5+3√125−4√20 7) √32/√8 8) √(2⁶·3²)

Кратко

Правила, на которых всё держится

• \((\sqrt{a})^2 = a\) при \(a\ge 0\);
• \(\sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}\) и \(\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\) — отсюда вынесение множителя из-под корня: \(\sqrt{125}=\sqrt{25\cdot 5}=5\sqrt{5}\);
• \(\sqrt{a^2}=a\) при \(a\ge 0\);
• формулы сокращённого умножения: \((a-b)(a+b)=a^2-b^2\), \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\).

Решение по шагам

1) Сначала убираем квадрат у корня: \((\sqrt{5})^2=5\), знаменатель равен \(24\cdot 5=120\): \[ \frac{15}{24(\sqrt{5})^2}=\frac{15}{120}=\frac{1}{8}. \]

2) Корень из дроби — это корень из числителя и из знаменателя: \(\sqrt{\frac{1}{121}}=\frac{1}{11}\) (так как \(11^2=121\)), \(\sqrt{\frac{16}{49}}=\frac{4}{7}\) (так как \(4^2=16,\ 7^2=49\)): \[ \frac{1}{11}+\frac{4}{7}=\frac{7}{77}+\frac{44}{77}=\frac{51}{77}. \] Дробь не сокращается: \(51=3\cdot17\), \(77=7\cdot11\).

3) Разность квадратов: \[ (\sqrt{7}-2)(\sqrt{7}+2)=(\sqrt{7})^2-2^2=7-4=3. \]

4) Квадрат разности, причём \(\sqrt{5}\cdot\sqrt{2}=\sqrt{10}\): \[ (\sqrt{5}-\sqrt{2})^2=5-2\sqrt{10}+2=7-2\sqrt{10}. \]

5) \(\sqrt{0{,}25}=0{,}5\), \(\sqrt{144}=12\): \[ 0{,}2\cdot 0{,}5-\frac{1}{6}\cdot 12=0{,}1-2=-1{,}9. \]

6) Выносим множители: \(\sqrt{125}=5\sqrt{5}\), \(\sqrt{20}=2\sqrt{5}\): \[ 10\sqrt{5}+3\cdot 5\sqrt{5}-4\cdot 2\sqrt{5}=10\sqrt{5}+15\sqrt{5}-8\sqrt{5}=17\sqrt{5}. \]

7) Объединяем под один корень: \[ \frac{\sqrt{32}}{\sqrt{8}}=\sqrt{\frac{32}{8}}=\sqrt{4}=2. \]

8) Представляем подкоренное выражение как квадрат: \[ \sqrt{2^6\cdot 3^2}=\sqrt{(2^3)^2\cdot 3^2}=2^3\cdot 3=8\cdot 3=24. \]

Проверка

• №8: \(2^6\cdot 3^2=64\cdot 9=576\), а \(\sqrt{576}=24\) — верно.
• №6: \(17\sqrt{5}\approx 38{,}0\); по исходному: \(22{,}36+33{,}54-17{,}89\approx 38{,}0\) — совпадает.
• №5: \(0{,}2\cdot 0{,}5=0{,}1\), а \(\frac{1}{6}\cdot 12=2\); разность \(0{,}1-2\) действительно отрицательна.

Небольшое уточнение по записи: в №1 знаменатель я прочитал как \(24(\sqrt{5})^2\) (не \(2{,}4\)), а в №8 черта корня накрывает оба множителя — \(2^6\) и \(3^2\). Если на бумаге иначе, скажи — пересчитаю.