Домашнее задание. (8 кл.) «Разложение квадратного трехчлена на множители» № 1. Запишите коэффициенты a, b, свободный член квадратного трёхчлена:

Кратко

№ 1.
а) \(a=3,\ b=4,\ c=9\);
б) \(a=2,\ b=-1,\ c=-7\);
в) \(a=-5,\ b=3,\ c=-1\).

№ 2.
а) \(3x^2+x+5\);
б) \(4x^2-2x+6\);
в) \(x^2-x+9\);
г) \(-x^2+3x-2\).

№ 3.
а) \((x+3)(x-2)\);
б) \((x-1)(5x+2)\);
в) \((x+1)(x+2)\).

№ 4.
а) \((x-3)(x+1)\);
б) \((x-4)(x+8)\);
в) \((x-8)(x-6)\).

Как это получается

№ 1. В выражении \(ax^2+bx+c\) число \(a\) стоит перед \(x^2\), число \(b\) — перед \(x\), а \(c\) — свободный член. Знак минус входит в коэффициент:

\[ 2x^2-x-7=2x^2+(-1)x+(-7) \]

поэтому \(b=-1,\ c=-7\).

№ 2. Просто подставляем данные коэффициенты в \(ax^2+bx+c\). Если \(a=1\), то пишем \(x^2\), если \(a=-1\), то \(-x^2\).

№ 3. Способ группировки.
Нужно разбить средний член на два слагаемых. Для \(ax^2+bx+c\) ищут два числа, сумма которых равна \(b\), а произведение равно \(ac\).

а) \[ x^2+x-6=x^2+3x-2x-6=x(x+3)-2(x+3)=(x+3)(x-2). \]

б) Здесь \(ac=5\cdot(-2)=-10\), сумма должна быть \(-3\). Подходят \(-5\) и \(2\): \[ 5x^2-3x-2=5x^2-5x+2x-2=5x(x-1)+2(x-1)=(x-1)(5x+2). \]

в) \[ x^2+3x+2=x^2+x+2x+2=x(x+1)+2(x+1)=(x+1)(x+2). \]

№ 4. Выделение полного квадрата.
Используем формулы \[ x^2\pm 2kx+k^2=(x\pm k)^2 \] и разность квадратов \[ p^2-q^2=(p-q)(p+q). \]

а) \[ x^2-2x-3=(x^2-2x+1)-4=(x-1)^2-2^2=(x-3)(x+1). \]

б) \[ x^2+4x-32=(x^2+4x+4)-36=(x+2)^2-6^2=(x-4)(x+8). \]

в) \[ x^2-14x+48=(x^2-14x+49)-1=(x-7)^2-1=(x-8)(x-6). \]

Проверка: если раскрыть скобки, получается исходный трёхчлен. Например, \[ (x-1)(5x+2)=5x^2-3x-2, \qquad (x-8)(x-6)=x^2-14x+48. \]