Дано: ABCD - параллелограмм AB=12 см, AC=22,4 см, BD=20,8 см, AA1∥BB1∥CC1∥DD1, AA1=BB1=CC1=DD1. Найти: cos ∠(A1B1;AC)

Question

Реши задание на изображении

Расшифровка фото нейросетью:
Дано:
ABCD - параллелограмм
$AB=12$ см, $AC=22,4$ см, $BD=20,8$ см,
$AA_1\parallel BB_1\parallel CC_1\parallel DD_1$
$AA_1=BB_1=CC_1=DD_1$
Найти: $\cos\angle(A_1B_1;AC)$
[Рисунок: изображён параллелепипед; в основании — параллелограмм $ABCD$, над ним — четырёхугольник $A_1B_1C_1D_1$; проведены боковые рёбра $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$, $DD_1$, верхние рёбра $A_1B_1$, $B_1C_1$, $C_1D_1$, $D_1A_1$; диагонали основания $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$; нижняя грань закрашена синим.

Answer

Ответ: $\cos\angle(A_1B_1,AC)=0{,}6=\dfrac35$.

Ключевая идея. Из условия $AA_1\parallel BB_1$ и $AA_1=BB_1$ следует, что $ABB_1A_1$ — параллелограмм. Значит,
$$
A_1B_1\parallel AB.
$$
Поэтому угол между $A_1B_1$ и $AC$ равен углу между $AB$ и $AC$.

Обозначим
$$
\vec{AB}=\mathbf u,\qquad \vec{AD}=\mathbf v.
$$
Тогда
$$
\vec{AC}=\mathbf u+\mathbf v,\qquad \vec{BD}=\mathbf v-\mathbf u,
$$
причём
$$
|\mathbf u|=12,\quad |\mathbf u+\mathbf v|=22{,}4,\quad |\mathbf v-\mathbf u|=20{,}8.
$$

Возведём длины диагоналей в квадрат:
$$
|\mathbf u+\mathbf v|^2=22{,}4^2=501{,}76,
$$
$$
|\mathbf v-\mathbf u|^2=20{,}8^2=432{,}64.
$$
Вычитая, получаем:
$$
4(\mathbf u\cdot\mathbf v)=501{,}76-432{,}64=69{,}12,
$$
$$
\mathbf u\cdot\mathbf v=17{,}28.
$$

Теперь
$$
\cos\varphi=
\frac{\mathbf u\cdot(\mathbf u+\mathbf v)}
{|\mathbf u|\,|\mathbf u+\mathbf v|}
=
\frac{12^2+17{,}28}{12\cdot22{,}4}.
$$
Считаем:
$$
\cos\varphi=
\frac{144+17{,}28}{268{,}8}
=
\frac{161{,}28}{268{,}8}
=0{,}6.
$$

Проверка: $\varphi=\arccos 0{,}6\approx53{,}1^\circ$, то есть угол острый — это соответствует углу между прямыми.