Домашнее задание. (8 кл.) «Разложение квадратного трёхчлена на множители»

Краткий ответ

№ 1.

• а) \(a=3,\ b=4,\ c=9\);
• б) \(a=2,\ b=-1,\ c=-7\);
• в) \(a=-5,\ b=3,\ c=-1\).

№ 2.

• а) \(3x^2+x+5\);
• б) \(4x^2-2x+6\);
• в) \(x^2-x+9\);
• г) \(-x^2+3x-2\).

№ 3.

• а) \((x+3)(x-2)\);
• б) \((x-1)(5x+2)\);
• в) \((x+1)(x+2)\).

№ 4.

• а) \((x-3)(x+1)\);
• б) \((x-4)(x+8)\);
• в) \((x-8)(x-6)\).

Как это получается

1. Коэффициенты \(a\), \(b\) и свободный член \(c\).
В записи \(ax^2+bx+c\):

• \(a\) — число перед \(x^2\);
• \(b\) — число перед \(x\);
• \(c\) — свободный член.

Знак числа входит в коэффициент. Поэтому в \(2x^2-x-7\) считаем \(b=-1\), а \(c=-7\), потому что \(2x^2-x-7=2x^2+(-1)x+(-7)\).

2. Составление трёхчлена.
Просто подставляем данные \(a\), \(b\), \(c\):

\[ 3x^2+1x+5=3x^2+x+5, \]

\[ 4x^2+(-2)x+6=4x^2-2x+6, \]

\[ 1x^2+(-1)x+9=x^2-x+9, \]

\[ (-1)x^2+3x+(-2)=-x^2+3x-2. \]

Единицу перед \(x^2\) и \(x\) обычно не пишут.

3. Разложение группировкой.
Нужно разбить средний член \(bx\) на два слагаемых так, чтобы после группировки появился общий множитель. Для \(ax^2+bx+c\) ищут два числа, сумма которых равна \(b\), а произведение равно \(ac\).

а) \[ x^2+x-6=x^2+3x-2x-6= x(x+3)-2(x+3)=(x+3)(x-2). \]

б) Здесь \(ac=5\cdot(-2)=-10\), сумма должна быть \(-3\). Подходят числа \(-5\) и \(2\): \[ 5x^2-3x-2=5x^2-5x+2x-2= 5x(x-1)+2(x-1)=(x-1)(5x+2). \]

в) \[ x^2+3x+2=x^2+x+2x+2= x(x+1)+2(x+1)=(x+1)(x+2). \]

4. Выделение полного квадрата.
Используем формулу \[ x^2+2kx=(x+k)^2-k^2 \] и затем разность квадратов \[ A^2-B^2=(A-B)(A+B). \]

а) \[ x^2-2x-3=(x-1)^2-1-3= (x-1)^2-4= \] \[ =(x-1-2)(x-1+2)=(x-3)(x+1). \]

б) \[ x^2+4x-32=(x+2)^2-4-32= (x+2)^2-36= \] \[ =(x+2-6)(x+2+6)=(x-4)(x+8). \]

в) \[ x^2-14x+48=(x-7)^2-49+48= (x-7)^2-1= \] \[ =(x-7-1)(x-7+1)=(x-8)(x-6). \]

Я проверил раскрытием скобок: например, \[ (x-1)(5x+2)=5x^2-3x-2, \] \[ (x-4)(x+8)=x^2+4x-32. \]