что такое корень уравнения

Кратко: корень уравнения — это такое значение переменной (или нескольких переменных), при подстановке которого в уравнение получается верное числовое равенство.

Разберём на примере

Уравнение \(2x + 3 = 11\). Подставим \(x = 4\):

\[ 2 \cdot 4 + 3 = 8 + 3 = 11 \]

Получилось верное равенство \(11 = 11\), значит \(x = 4\) — корень. А если подставить \(x = 5\), выйдет \(13 = 11\) — неверно, значит \(5\) корнем не является.

Важные следствия из определения

1. Проверка корня — это всегда подстановка найденного числа в исходное уравнение, а не в промежуточные выкладки.
2. Корней может быть по-разному:
   • один: \(2x + 3 = 11\), корень \(x = 4\);
   • несколько: \(x^{2} = 9\), корни \(x = 3\) и \(x = -3\);
   • бесконечно много: \(x + 1 = x + 1\) — подходит любое число;
   • ни одного: \(0 \cdot x = 5\) — при любом \(x\) слева \(0\), а \(0 \neq 5\).
3. «Решить уравнение» — значит найти все его корни или доказать, что их нет.

Как действовать в похожем задании. Если просят «проверь, является ли число \(a\) корнем», просто подставь \(a\) вместо \(x\) в левую и правую части и сравни результаты: совпали — да, корень; не совпали — нет. Считать обе части до конца не обязательно, достаточно убедиться в их равенстве или неравенстве.