В физической лаборатории проводят исследование по влиянию величины давления воздуха в цилиндрическом сосуде с поршнем на подъём в нём полого металлического шарика. Определи,

Краткий ответ: \(p_{\min}\approx 7{,}8\ \text{МПа}\).

Как понять решение

Шарик оторвётся от дна, когда архимедова сила сжатого воздуха сравняется с его весом:

\[ F_{\text{Арх}}=mg,\qquad F_{\text{Арх}}=\rho_{\text{возд}}gV. \]

Значит, в момент отрыва средняя плотность воздуха должна стать равна средней плотности шарика:

\[ \rho_{\text{возд}}=\frac{m}{V}. \]

Объём шарика:

\[ V=\frac{4}{3}\pi r^3 =\frac{4}{3}\pi(0{,}02)^3 \approx 3{,}35\cdot10^{-5}\ \text{м}^3. \]

Плотность воздуха при давлении \(p\) и температуре \(T\):

\[ \rho_{\text{возд}}=\frac{pM}{RT}. \]

Отсюда

\[ p=\frac{mRT}{MV}. \]

Подставляем:

\[ m=0{,}003\ \text{кг},\quad M=0{,}029\ \text{кг/моль}, \] \[ T=30+273=303\ \text{К}. \]

\[ p\approx \frac{0{,}003\cdot 8{,}31\cdot 303} {0{,}029\cdot 3{,}35\cdot10^{-5}} \approx 7{,}8\cdot10^6\ \text{Па} =7{,}8\ \text{МПа}. \]

При меньшем давлении шарик останется на дне. \(7{,}8\) МПа — это минимальное давление, при котором он начинает отрываться.