В физической лаборатории проводят исследование по влиянию величины давления воздуха в цилиндрическом сосуде с поршнем на подъём в нём полого металлического шарика.

Краткий ответ: \(p_{\min}\approx 7{,}8\) МПа.

Как понять решение

В школьной модели шарик считаем герметичным, поэтому он вытесняет весь свой объём. Шарик оторвётся от дна, когда архимедова сила воздуха станет равна его весу:

\[ F_{\text{А}}=mg \]

Объём шарика:

\[ V=\frac{4}{3}\pi R^3 \]

Так как \(R=2\) см \(=0{,}02\) м,

\[ V=\frac{4}{3}\pi(0{,}02)^3\approx3{,}35\cdot10^{-5}\ \text{м}^3 \]

Плотность воздуха при давлении \(p\):

\[ \rho=\frac{pM}{RT} \]

Тогда

\[ F_{\text{А}}=\rho Vg=\frac{pMVg}{RT} \]

Приравниваем к весу:

\[ \frac{pMVg}{RT}=mg \]

\[ p=\frac{mRT}{MV} \]

Переводим данные в СИ:

\[ m=3\ \text{г}=3\cdot10^{-3}\ \text{кг} \]

\[ M=29\ \text{г/моль}=0{,}029\ \text{кг/моль} \]

\[ T=30+273=303\ \text{К} \]

Подставляем:

\[ p=\frac{3\cdot10^{-3}\cdot8{,}31\cdot303} {0{,}029\cdot3{,}35\cdot10^{-5}} \approx7{,}8\cdot10^6\ \text{Па} \]

\[ p\approx7{,}8\ \text{МПа} \]

Проверка: средняя плотность шарика

\[ \frac{m}{V}\approx89{,}5\ \text{кг/м}^3 \]

При \(7{,}8\) МПа плотность воздуха тоже примерно \(89{,}5\ \text{кг/м}^3\). Значит, силы уравновешиваются, и при чуть большем давлении шарик начнёт подниматься.