Из точки А, лежащей вне окружности проведены лучи АС и АК, пересекающие окружность в точках В, С и М, К

На фото два варианта задачи №4. Решу оба — они решаются одним свойством.

Краткий ответ:

• Левый вариант: \(AC = 6\), \(BC = 2\).
• Правый вариант: \(AM = \frac{10}{3} = 3\frac{1}{3}\), \(MK = \frac{26}{3} = 8\frac{2}{3}\).

В чём принцип

Если из точки \(A\) вне окружности провести две секущие, то произведение отрезков от \(A\) до дальних точек пересечения равно произведению отрезков от \(A\) до ближних точек:

\[ AB \cdot AC = AM \cdot AK \]

Это следует из подобия треугольников \(ABM\) и \(AKC\): угол \(A\) у них общий, а углы \(ABM\) и \(AKC\) равны, так как опираются на одну и ту же дугу \(BM\) (через свойство вписанного четырёхугольника). Поэтому отношения сторон дают \(AB \cdot AC = AM \cdot AK\).

Главное — правильно расставить порядок точек на каждом луче: ближняя к \(A\) точка стоит первой, дальняя — второй.

Левый вариант

Дано: \(AM = 3\), \(MK = 5\), \(AB = 4\).
Найти: \(AC\) и \(BC\).

1. \(AK = AM + MK = 3 + 5 = 8\).
2. По свойству секущих: \[ 4 \cdot AC = 3 \cdot 8 \] \[ 4 \cdot AC = 24 \quad \Rightarrow \quad AC = 6 \]
3. \(BC = AC - AB = 6 - 4 = 2\).

Проверка: \(AB \cdot AC = 4 \cdot 6 = 24\), \(AM \cdot AK = 3 \cdot 8 = 24\). Сходится.

Правый вариант

Дано: \(AB = 4\), \(BC = 6\), \(AK = 12\).
Найти: \(AM\) и \(MK\).

1. \(AC = AB + BC = 4 + 6 = 10\).
2. По свойству секущих: \[ 4 \cdot 10 = AM \cdot 12 \] \[ 40 = 12 \cdot AM \quad \Rightarrow \quad AM = \frac{40}{12} = \frac{10}{3} \]
3. \(MK = AK - AM = 12 - \frac{10}{3} = \frac{36}{3} - \frac{10}{3} = \frac{26}{3}\).

Проверка: \(AB \cdot AC = 4 \cdot 10 = 40\), \(AM \cdot AK = \frac{10}{3} \cdot 12 = 40\). Сходится.

Если нужно разобрать задачи №1 или №5, их на этом снимке не видно полностью — пришлите, пожалуйста, более чёткий кадр с этими номерами.